2018年苏州大学数学科学学院618数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 证明:若函数f 在点x 0处有
【答案】假设存在由
于是此时有
. 取
使得当
, .
时有可知, 存在
, 则当
,
. , 由
, 于是此时有, 使得当
时,
时有,
时, x 0为f 的极小值点.
有
,
, 则x 0为f 的极大（小）值点.
及极限的保号性知,
;
,
故x 0为f 的极大值点. 同理可证, 当
2． 设函数f 在区间（a , b ）内的各阶导数一致有界, 即存在正数M , 对一切
证明:对（a , b ）内任一点x 与x 0有
【答案】任意
依题意有
其中
介于与x 之间.
又f 在（a , b ）上的各阶导数一致有界, 故
从而
3． 设
由定理得,
其中表示有理数x 化成既约分数后的分母. 证明f （x , y ）在D 上的二重积分存在而两个累次积分不存在.
【答案】因为对任何正
数, 只有有限个
点使
, 所以二重积分存在且等于零.
当y 取无理数时, f （x , y ） = 0, 所以
,
. 因此函
, 因而存在一个分割T ,
使得
然而, 当y 取有理数时, 在x 为无理数处f （x , y ） =0, 在x 为有理数处数f （x , y ）在任何区间上的振幅总大于, 即函数f （x , y ）在
上关于x 的积分不存在.
显然就不存在先x 后y 的累次积分.
同理可证先y 后x 的累次积分不存在.
4． 设f （x ）在[a, b]上一阶可导, 在（a , b ）内二阶可导,
I
试证: （1）存在（2）存在
, 使使
. 满足
使得
I
故存在
（2）令
所以根据罗尔定理, 存在再令使得
5． 设
,
并改写即得
f
:
, 且存在正实数
与
利用不动点定理证明:在B 中有惟一的不动点. 【答案】因为
, 有
所以
, 即f
:
, 故由此可知f 在B 中有惟一的不动点.
, 对一切
, . 满足
使, 注意到
, 使得
, 则因为
y
.
. 因为
,
【答案】（1）依题意, 存在
二、解答题
6． 设
或
则也即
严格单增即可.
为此, 令
【答案】欲证上式, 即证由于
故只需证
再令
则
令
解得所以
由此得
严格单增, 即证.
7． 在曲面z=xy上求一点, 使这点的切平面平行于平面x+3y+z + 9 = 0, 并写出这切平面方程和法线方程.
【答案】设所求点为
点P 处切平面法向量为
要求切平面与平面x +3y+ z+9=0平行, 故且点P 处的切平面方程为法线方程为
从而
即x+ 3y +z +3=0.
即3 （x+3） =y+l=3 （z —3）.
得P 点为（-3, - 1, 3）
由
知
在点
取极小值, 即
8． 在已知周长为2p 的一切三角形中，求出面积为最大的三角形.
z , 则面积【答案】设三角形的三边分别为x , y ，此
其中因S
与
有相同的稳定点，考虑
解方程组
得
从而
又在D 的边界上
从而S 在
处取得最大值, 因而
，且
因
面积最大的三角形为边长为的等边三角形, 面积
9． 试写出单位正方体为积分区域时, 柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限.
【答案】在柱面坐标系下, 用z=c的平面截立方体, 截口是正方形, 因此, 单位立方体可表示为
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