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一、综合题

1． 设

为

上的连续递增函数, 则

. 即可.

使

2． 设

（1）（3）

使得使得

, 则

（2）令（3）令

, 则

, 则

3． 求下列复合函数的偏导数或导数:

（1）设（2）设

（3）设

（4）设

（5）设

（6）设

求,

求

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.

【答案】只要证明由于

单调递增, 利用积分第二中值定理, 则存在

试作数列:

, 于是

于是

, 于是

（2）{}使得【答案】（1）令

,

求求

求求

【答案】（1）令 u=xy,

则

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（2）

（3

）

⑷

（

5）由于

所以（6

）

4． 设

’求

.

【答案】方法一作变量代换t=x—2, 则

方法二因为

所以

5． 求下列函数在给定区间上的最大最小值:

第

3

页，共 26 页

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【答案】（1）由于（2）令于是,

当t=1,

即（3）

时,

故函数在,

故舍去,

由

知

, .

, .

时, 函数取最大值1. 又因

, 由

得稳定点

, 当. 又因

’

, 最小值不存在.

时,

; 当. 故最大

, 由方程, .

,

得稳定点

.

比较它们的大小知, 函数在x=－1处取最小值－10, 在

x=1处取最大值2.

处取最小值, 最小值为

值不存在.

6

． 有一等腰梯形闸门. 它的上、下两条底边各长为10米和6米, 高为20米. 计算当水面与上底边

相齐时闸门一侧所受的静压力.

【答案】如图所示

, B

、C

的坐标为（0, 5）和（20, 3）于是BC 的方程为

深度为X 处水的静压强为pgx , 闸门从深度x 到故

这一窄条

上受到的静压力为

图1

二、证明题

7．

设f

（x ）对一切

证明:【答案】

, 因为

在[0, b]上可积, 且

所以

, 当x>A时有

. 于是

因f （x ）在[0, A]上可积, 从而有界, 所以

, 使得

.

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