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一、证明题

1． 设随机变量

试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）

（2）由（1）知, （3）由（2）

知

由此得

所以

因为X 与Y 相互独立, 所

以

,

, 且X 与Y 相互独立, 令

2 设T 是g ，．（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若

【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE ，即

即

3． 设

且

为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为

（1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即都已知，常记为

则在给出样本

后的后验分布密度函数为

其中

和

的无偏估计，故其差

由判断准则知

，则这说明

是0的无偏估计，

其中验分布.

（2

）当已知时，不妨设c

服从伽玛分布

都已知. 则给出样本

即

其中

后c 的后验分布密度函数

因此，

所以当c 已知时帕雷托分布为的共扼先

这说明

证明完成.

利用此结果计

4． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试证明：算

【答案】

由此得

5． （格涅坚科大数定律）设

是随机变量序列, 若记

则

服从大数定律的充要条件是

【答案】先证充分性. 任对

注意到t>0时.

是增函数, 故当

因此有

所以当

时, 有

时, 有

故服从大数定律.

再证必要性.

设有

服从大数定律,

即

因为函数

是增函数及

则任对存在N ,

当, 得

时,

由于的任意性, 所以

6． 设随机向量（X , Y ）满足

证明:【答案】由所以

7． 设

是来自

的样本，证明

为

没有无偏估计.

【答案】（反证法）假设的无偏估计，则

由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即没有无偏估计.

8． 设随机变量, 证明:当量.

【答案】

令

, 两边取对数, 并将

所以

收敛的方法知结论成立.

时, 随机变量

, 则由X 的特征函数

..

按分布收敛于标准正态变

可

得

展开为级数形式, 可得

而

正是的特征函数, 由特征函数的唯一性定理及判断弱