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一、证明题

1． 口袋中有a 个白球、b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球. 试证白球比黑球出现得早的概率为a/（a+b），与n 无关.

【答案】记事件A 为“第一次取出白球”，B 为“第一次取出黑球”，C 为“第一次取出红球容易B ，C 互不相容，看出，事件A ，且

记

（2）设其中

以下对n 用归纳法：

（1）当n=0时，则“白球比黑球出现得早”意味着：第一次就取出白球，所以有

则

代入可得

由归纳法知结论成立.

2． 设连续随机变量X 服从柯西分布, 其密度函数如下:

其中参数

（1）试证X 的特征函数为（2）当（3）若

【答案】（1）因为

时, 记Y=X, 试证

的密度函数为

y 的特征函数为

下证柯西分布的可加性, 设

, 由此得服从参数为

的特征函数

的柯西分布, 其密度函数为

若

与

相互独立, 则

的柯西分布的特征函数, 所以由唯一性定理知,

的柯西分布.

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又设为“有n 个红球时，白球比黑球出现得早”，

常记为

且利用此结果证明柯西分布的可加性；

, 但是X 与Y 不独立；

与同分布.

相互独立, 且服从同一柯西分布, 试证:

这正是参数为数为

服从参

（2）当所以

时有,

,

由于Y=X, 当然X 与Y 不独立 此题说明, 由（3

）设得:

即

的特征函数为

不能推得X 与Y 独立.

, 由相互独立性

都服从参数为的柯西分布,

则特征函数为

与具有相同的特征函数, 由唯一性定理知它们具有相同的分布.

中抽取容量为

，的两独立样本其样本方差分别为

3 设分别自总体．

试证，对于任意常数a , b （a+b=l），达到最小.

【答案】由已知条件有

都是的无偏估计，并确定常数a , b 使Var （Z ）

且

独立. 于是

故

这证明了又

是的无偏估计.

从而

因而当

时，V ar （Z ）达到最小，此时

这个结果表明，对来自方差相等（不论均值是否相等）的两个正态总体的容量为本，上述是的线性无偏估计类中方差最小的.

4． 设X 〜N （0, 1）, Y 各以0.5的概率取值±1, 且假定X 与Y 相互独立. 令

（1）

（2）X 与Z 既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得

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该无偏估计为

的样

证明:

所以Z 〜N （0, 1）.

（2）因为E （X ）=0, E （Y ）=0, 且X 与Y 相互独立, 所以

所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的, 我们考查如下特定事件的概率, 且对其使用全概率公式

考虑到而

5． 设分布函数列敛于分布函数F （x ）.

【答案】

对任意的点

:

则有

（1）

这时存在N , 使得当n>N时, 有

对任意的当

时, 有

由（1）, （3）式可得

即有

, 结论得证.

6． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为

的泊松分布.

【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有

这表明：Y 服从参数为

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故有

所以

弱收敛于连续的分布函数F （x ）, 试证:

取M 充分大,

使有当

使有

时,

有

再令

即X 与Z 不独立.

在

当

上一致收

时,

有

,

对上述取定的M , 因为F （x ）在闭区间[-M, M]上一致连续, 故可取它的k 个分

必存在某个i , 使得由（2）式知,

的泊松分布.