2017年清华大学工业工程系902运筹学与统计学考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
也是一个分布函数.
【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因为于是
（2）有界性. 对任意的x ，有
且
（3）右连续性.
2． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（2）因为
（3）因为
都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明：
都是分布函数，故当
时，有
证明：
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证.
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型：一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个
，
则事件=“取出的II 个产品中有k 个不合格品”的概率为
由诸次
互不相容，且
得
把分母移至另一侧即得结论.
注：还有另一种证法：下述等式两端分别展开
可得
比较上式两端的系数即可得
I
（6）在（5）中令a=n，b=n, 则得
再利用（1）的结果即可得证.
3． 设随机向量（X , Y ）满足
证明:【答案】由所以
4． 设
是来自几何分布
是充分统计量.
其分布列为
的样本, 证明
【答案】由几何分布性质知,
在给定T=t后, 对任意的一个样本, 有
该条件分布与无关, 因而
是充分统计量.
这个条件分布是离散均匀分布, 可用等可能模型给其一个解释:设想有n —1个“1”和t 个“0”, 把它们随机地排成一行, 并在最后位置上添上1个“1”, 譬如
这n 个“1”把此序列分成n 段, 每段中“0”
的个数依次记为且
我们指出, 此种序列共有
, 这就是在
这里诸服从几何分布,
, 而每一个出现是等可能的, 个（这是重复组合）
给定后
的条件联合分布.
即每一个出现的概率都是
这个条件分布还表明:
当已知统计量（
统计量的真实含义.
5． 设
是来自泊松分布
的值t 后, 就可按此条件分布产生一个样本
）, 它虽与原样本不尽相同, 但其分布相同. 在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分
的样本, 证明是充分统计量.
有
【答案】由泊松分布性质知, 在给定T=t后, 对任意的