2017年清华大学工业工程系902运筹学与统计学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1 设T 是g ，（θ）的UMVUE , 是g （θ）的另一个无偏估计证明：若．
【答案】因为T 是g （θ）的UMVUE
，即
即
2． 设
且
是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，
的无偏估计，故其差
由判断准则知
，则这说明
是0的无偏估计，
在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？
（1）（2）（3）
【答案】先求三个统计量的数学期望，
这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为
不难看出
由此可推测。当用样本的凸组合
从而
的有效性最差.
则
估计总体均值时，样本均值是最有效的。
3． 设X , Y 均为（0, 1）上独立的均匀随机变量, 试证:
【答案】因为（X , Y ）的联合密度函数为
所以
4． 设X 为非负随机变量，a>0.若
【答案】因为当a>0时，
5． 同时掷5枚骰子，试证明：
（1）P （每枚都不一样）=0.0926； （2）P （一对）=0.4630； （3）P （两对）=0.2315； （4）P （三枚一样）=0_1543； （5）P （四枚一样）=0.0193； （6）P （五枚一样）=0.0008. 【答案】同时掷5枚骰子共有（1）
2枚组成“一对”，共有以
（3）先将5枚骰子分成三组，其中二组各有2枚殷子，另外一组只有一枚殷子，又考虑到各有2枚骰子的二组内是不用考虑顺序的，所以5枚骰子分成三组共有而这三组骰子出现的点数都不一样有
种可能，所以所求概率为
（4）这里“三枚一样”是指这三枚以外的2枚骰子不成对，所以先从5枚骰子中任取3枚组成一组，共有（53）种取法，然后这一组骰子与剩下的2枚骰子出现的点数不一样，所以
（5）先从5枚骰子中任取4枚组成一组，然后这一组骰子与剩下的一枚骰子各取不同的数，
存在，证明：对任意的x>0，有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
个样本点，这是分母，以下分别求之.
（2）这里“一对”是指这一对以外的3枚骰子中不成对且不全相同，所以先从5枚骰子中任取
种取法，然后这“一对”骰子与剩下的3枚骰子出现的点数都不一样，所
种分法，
由此得
（6）五枚骰子出现的点数全部一样共有6种情况，所以
6． 投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2?
【答案】设共投掷n 次，记事件则
由
得
两边取对数解得
所以取n=4，即投掷4次可以保证至少一次出现点
为“第i 次投掷时出现点数为6”，i=l，2. …n.
数为6的概率大于1/2.
7． 设独立同分布，其共同的密度函数为
（1）证明：（2）计算
和
的均方误差并进行比较；
的估计中，故
最优.
这说明是则Y 的密
都是θ的无偏估计；
（3）证明：在均方误差意义下，在形如【答案】（1）先计算总体均值为θ的无偏估计. 又总体分布函数为度函数为
于是有
这表明
也是θ的无偏估计.
（2）无偏估计的方差就是均方误差. 由于
故有
又