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一、证明题

1． 若

为从分布族

为充分统计量.

【答案】样本X 的联合密度函数为

由因子分解定理知,

2． 设随机变量序列证:

【答案】这时 3． 设

是来自正态分布

的样本, 证明,

在给定

是充分统计量. 的条件密度函数为

仍为独立同分布, 且

由辛钦大数定律知结论成立.

为充分统计量.

独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且

试

中抽取的简单样本,

试证

【答案】由条件,

它与

无关, 从而

是充分统计量. 的容量为

f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（

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4 来自正态总体．对称, 且

【答案】记正态分布的样本中位数

的样本中位数是证明

的密度函数关于

的密度函数为

令此变换的雅可比行列式的绝对值于是y 的密度函数为

其中可得

与

分别是标准正态分布N （0, 1）的分布函数与密度函数, 依据它们的性质

这表明密度函数与E

5． 设由

是偶函数, 从而g x ）的密度函数（关于对称, 同时还有

可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证

明：样本相关系数r 满足如下关系

上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为

即

将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有

证明完成.

6． 设以下所涉及的数学期望均存在, 试证:

（1）（2）（3）

【答案】（1）由（2）因为（3）

7． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.

【答案】因为

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知

又由（1）知

所以有

所以A-B 与C 独立.

8． 用概率论的方法证明:

【答案】设

为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为参数

服从参数

的泊松分布

故

又由泊松分布的可加性知, 理知

的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定

二、计算题

9． 在一批货物中随机抽取80件，发现有11件不合格品，试求这批货物的不合格品率的置信水平为0.90的置信区间.

【答案】此处n=80较大，可用正态分布求其近似置信区间. 不合格品率的为

此处

，因而不合格品率的置信水平为0.90的置信区间为

10．一工厂的两个化验室每天同时从工厂的冷却水取样，测量水中的含气量（ppm ）—次，下面是7天的记录：

室甲：室乙：设每对数据的差异？（

）

不难算出

能认为两化验室测定结果之间有显著差异.

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近似置信区间

来自正态总体，问两化验室测定结果之间有无显著差

【答案】这是成对数据的比较问题，7个值为

于是

检验的p 值为0.4887, 不