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一、证明题

1． 证明:容量为2的样本

【答案】

2． 设

【答案】因为离散场合,

当

时, g （y ）以概率

. 取

由于在Y 取固定值时,

上式对Y 的任一取值都成立, 即

. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般

场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.

3． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：

（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则

因此

所以得

又由

所以

（2）当c=0时，

又由

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的方差为

存在, 试证:

是随机变量Y 的函数, 记

, 它仍是随机变量. 在

也是常数, 故有

【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：

由此得

由此得结论.

4． 对于组合数

（1）（2）（3）（4）（5）（6）（2）因为

（3）因为

（4）因为

所以

（5）设计如下一个抽样模型：一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个

，

则事件=“取出的II 个产品中有k 个不合格品”的概率为

由诸次

互不相容，且

得

把分母移至另一侧即得结论.

注：还有另一种证法：下述等式两端分别展开

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证明：

【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证.

可得

比较上式两端的系数即可得

I

（6）在（5）中令a=n，b=n, 则得

再利用（1）的结果即可得证.

5． 设总体μ，则

即

将（*）式两端对H 求导，并注意到

有

这说明为证明

即

于是

从而

的UMVUE.

的UMVUE. 【答案】大家知道：

分别是

的无偏估计，设

是0的任一无偏估计，

为样本，证明，

分别为

的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得

由此可以得到的项，有

下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0

这表明这就证明了

由此可得到的UMVUE.

因而

6． 设P （A ）>0，试证：

【答案】因为

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