2017年东北大学理学院618分析基础考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为递减正项数列，证明：级数
的部分和为
与
同时收敛或同时发散. 的部分和为
因为
故若又有
故若同. 2． 设
在
上连续并且单调递减，证明：函数
在
单调递减.
【答案】对F (x ) 求导，得
由f (x )
在
上连续且单调递减，
得
上单调递减.
3． 设
证明数列
与级数
同时收敛或同时发散.
的敛散性相同，
，
所以
即函数
收敛，则
也收敛；若
发散，则
也发散. 由上可知两级数的敛散性相
收敛，则
也收敛；若
发散，则
也发散.
为递减的正项数列，
【答案】设级数故
级数
【答案】注意到数列的敛散性与正项级数
故只需考虑
故若当
与级数_
收敛，必有时，有
与
间的关系. 因为
收敛；若，同时发散；当
发散，必有
时
发散.
故若
进而
收敛必有收敛，
即有收敛；若，. 发散，
则有发散，
发散. 所以原数列与原级数同时收敛或同时发散.
存在. 证明
：
绝对收
敛
4． 设函数f (x ) 在点x=0的某邻域内有定义
，
【答案】
由于
存在且
则有
从而
故
因为
义有
(否则
5． 证明：若函数f 在有一点
使
使
使
得可得
故
6． 证明：若函数
在点处有
【答案】
假设
由
绝对收敛
.
绝对收敛，所以
又f (x ) 在点x=0连续，所以f (0) =0, 由导数定
当
的敛散性相同，矛盾) . 上连续，且
则当
使得
这与假设矛盾. 设
当
则在时，
内至少
绝对收敛时，
只能有
【答案】用反证法. 如果在(a ，b ) 内不存在
根据连续函数的介值定理，存
在
再由
总成立. 否则，若存在：
这与题
设矛盾. 故
在内至少存在一
点
使
则为的极大(小) 值点。
及极限的保号性知，存在
使得
当时
有
可知，存在
使得当时，
于是此时
有
时有
由
于是此时有
取
则当故为的极大值点。同理可证，
当
时，为f 的极小值点。
二、解答题
7． 判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散：
(1)
(2)
收敛，
. 绝对收敛.
收敛. 又
【答案】(1) 因为
所以由级数的比较判别法知，级数(2) 因为发散，故级数
单调递减且
条件收敛.
所以由Leibniz 判别法知，级数
8． 问下列积分是否可积（即原函数是初等函数）：
【答案】（1）原式
由此可见，
由于（2）原式
由此可见
由于
三个量都非整数，从而原式不可积. 三个量都非整数，从而原式不可积.
9． 求a 、b 使下列函数在x=0处可导：
【答案】由于函数在x=0处可导，从而连续；