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一、证明题

1． 设

在(0, 0) 点附近存在，且在(0, 0) 点可微，证明：

【答案】因为

在(0, 0) 点可微，所以

都存在.

下证：两个混合偏导数相等. 由于

因此

其中

(2)

和

其中

是

时的无穷小量，

是

时的无穷小量.

将式(2) 、式(3) 两式代入式(1) 可得

令

2． 1) 设

(1) (2) 若

则

2) 利用1) 题结果求极限：

【答案】 1)(1) 因为

存在正整

数

对于任给的

使得

当

时

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注意到在(0, 0) 点可微，我们有

则证明，

故有

存在正整数使得当时当

同时，

时

于是，当时，

由于M 的任意性，故

(2) 因为

所以对一切由(1) 的结论得

即

对于任给的

存在正整数

2) ⑴令

(2) 令

则则

且

由第1) 题(2) 得

由第1) 题(1) 得

3． 通过对

【答案】在

则

即

. 4．

为(2)

试证：

【答案】首先证明

存在.

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存在正整数N , 使得当时即于是

使得当时即所以

施用中值定理，证明对某有

中，令

中的开集

，

的x 存在关于

为上的函数，且

中的y —致连续.

(1) 对每个

因

根据条件(2)

令其次

，

所以

当

使得

时，有

根据柯西准则，知

存在. 即等式

取极限，根据条件(1)

可得

由

①左端极限存在，记之为A.

利用条件(2) 及上一步骤之结论，可取x 与将x 固定，由条件(1)

于是由②式知

5． 设

【答案】因为又由

与

使得

充分接近使得

时证毕.

是[a, b]上的单调函数，证明：若

与

都绝对收敛，则

在

[a, b]上绝对且一致收敛.

是[a, b]上的单调函数，故对任意

> 均绝对收敛，

得收敛，从而

在[a, b]上

一致收敛，即在[a，b]上绝对且一致收敛.

6． 证明：定圆内接正行边形面积将随n 的增加而増加。

【答案】设圆的半径为R ，则该圆的内接正n 边形面积

令

则

于是当

时，

故

在

上严格递增. 因此，数列

严格递增. 即圆内接正

n 边形面积将随n 的増加而增加。

二、解答题

7． 研究函数

的连续性，其中f (x ) 在闭区间[0, 1]上是正的连续函数。

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