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一、证明题

1． 试证：

(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和； (2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之差. 【答案】(1) 设

则

故

(2) 设

2． 设

且

试证

因此

又因

为

于是有

由柯西收敛准则，得

3． 证明下列各式：

【答案】(1) 是

(2) 由于是

(3) 由

知

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则在

故

上连续，又有函数列

在当

在

上也一致收敛.

在

且

上也一致连续.

时，有

在

上一致收敛，

【答案】由一致连续性定理可知

有

上一致收敛，由柯西收敛准

则

在上一致收敛.

, 由函数极限的局部有界性知，在内有界，于

由函数极限的局部有界性知，在内有界，于

(4) 因为

所以

(5)

(6) 设于是

故

(7) 设

则

于是

故

4． 求

在区间

上的傅里叶级数展开式，并由此证明：

【答案】因为

在

上可积，所以可展开成傅里叶级数. 而

故

显然，当

时，

连续，故

当x=0时，级数收敛汙

即

于是由式(1) 可得

再在式(1) 中，令

可得

则

即

，于是，在某个

内

有界，故

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5． 设x=x(y ，z ) ，y=y(z , x ) ，z=z(x , y ) 为由方程F (x , y , z ) =0所确定的隐函数. 证明：

【答案】由隐函数定理知

所以得

6． 证明函数

在区间

上不一致连续，但是对于任意a>0, 在

则

. 上一致连续.

从而

【答案】(1)

方法一取

上不一致连续. 方法二

取

则存

在

但是存在

上不一致连续.

(2) 当

时，

当使得

在区间

取

从而

虽然满

足

在区间

’时，有

取即

时，有

上一致连续.

二、解答题

7． 已知平面上n 个点的坐标分别是

试求一点，使它与这n 个点距离的平方和最小. 【答案】设所求的点为由

得因为

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它与各点距离平方和为