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一、选择题

1． 设A 是三阶矩阵

，m ，则=（ ）

A.km B.

C. D.

是A 的伴随矩阵，己知A 的每行元素之和为k

，

的每行元素之和为

【答案】A

【解析】法一：A 的每行元素和为k ，

故两边左乘

得

的每行元素和为m ，故

故

法二：将A 的其余各列加到第1列，且利用A 的每行元素之和为k , 得

显然因

2．

设

A.E B.-E

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的第1列元素的代数余子式是相同的，将

也是

的第一行元素，

故

按第一列展开，得

故

则B=（ ）。

C.2E D.3E 【答案】A

【解析】

故存在可逆阵P ，

使得

即

代入B 得

3． 设A , B为n

阶方阵

A.

若B.

若C.

若【答案】C

A 项，

【解析】将等式有

表明向量组

向量组

C 项，设

则P , Q均为可逆矩阵，且

易见B 的行（列）向量组与A 的行（列）向量组不等价.

D 项，若A 的行（列）向量组与B 的行（列）向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而

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为n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是（ ）。

则A 的列向量组与B 的列向量组等价 则A 的行向量组与B 的行向量组等价

则A 的行（列）向量组与B 的行（列）向量组等价

D. 若A 的行（列）向量组与矩阵B 的行（列）向量组等价，则矩阵A 与B 等价

中的A , B

按列分块

则

可由向量组

即

可由向量组

线性表示，表示的系数依次为Q 的第

表明

线性表示，从而这两个向量组等价.

一列至第n 列，由于Q 可逆，从而有

B 项，类似地，对于

将A 与B 按行分块可得出A 与B 的行向量组等价.

矩阵A 与B 的 秩相同，故矩阵A 与B 等价（两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等）。

4． 己知m 个n

维向量线性无关，其中则下列各向量中有可能线性相关的向量组是（ ）。

A. B. C. D. 【答案】C

【解析】AB 两项是对乘除.

C 项是将第1分量变为0,

相当于

中减少了第1个方程，减少方程有可能使方程组变得有

非零解，即

向量组可能线性相关.

5． 设A 为四阶实对称矩阵，

且若A 的秩为3, 则A 相似于（ ）。

线性无关，即方程组

惟一零解.

作初等行变换，A 项是第1行加到第2行，B 项是第1行

惟一零解矛盾，也应排

倍，不改变方程组解，必仍线性无关.

D 项是增加分量，增加分量仍线性无关，若相关，

这和原方程组

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】因为A 为4阶实对称矩阵，所以A 必可相似对角化，且A 的特征值全为实数.

设为A 的特征值，

则

又A 的秩为3，则A 的特征值为-1，-1，-1，0.

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