2018年中国农业大学农学与生物技术学院701数学(农)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1．
非齐次线性方程组
A. B. C. D.
时.
方程组时.
方程组时，
方程组时.
方程组
中未知数个数为n , 方程个数为m ，系数矩阵4的秩为r . 则（ ）W 解
有唯一解
有啡-解
有无穷多解 则方程组所以C 项，
当
的增广矩阵化为阶梯形矩阵时，阶梯形矩阵不为有解；B 项，当A 为方阵时方程组有惟一解的充要，
时
不一定等于r , 方程组不一定有解；D
【答案】A 【解析】A 项，
由于
0的行数为m
,
条件是矩阵A 可逆，
即
项，当时，
不能保证
方程组不一定有解.
2． A , B , C 均为n 阶方阵，E 为n 阶单位矩阵，且AB=BC=CA=E, 则
A.3E B.2E C.E D.0
【答案】A
【解析】由AB=E可
知
3．
已知四维向量组且向
量
（ ）。
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】将表出关系合并成矩阵形式有
，
同理知
线性无关，
故
（ ）。
即
则
因四个四维向量故
初等行变换，
故有
线性无关，
是可逆矩阵，A 左乘C ，即对C 作若干次
故知
4． 设A 是三阶矩阵，其特征值是1, 3, -2, 相应的特征向量依次
为
则
A.
（ ）。
若
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
由
当于
有
即当
的特征向量.
同理
是矩阵A
属于特征值仍是矩阵A
属于特征值
的特征向量时
，
的特征向量。
是属
仍是矩阵A
属于特征值
时，P 由A 的特征向量所构成，由A 的特征值所构成，且P
与的位置是对应
的特征向量，所以一2
在对角矩阵中应当是第2列.
一致的. 现在，矩阵A 的特征值是1, 3，_2，
故对角矩阵应当由1，3, _2构成，又由于
5． 下列矩阵中，不能相似对角化的矩阵是（ ）。
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】A 项是实对称矩阵，实对称矩阵必可以相似对角化
B 项是下三角矩阵，主对角线元素就是矩阵的特征值，因而矩阵有三个不同的特征值，所以矩阵必可以相似对角化.
C 项是秩为1的矩阵，
由
知齐次方程组
知矩阵的特征值是4, 0, 0.
对于二重根
由秩
的基础解系有3_1=2个线性无关的解向量，
即
由
有两个线性无关的特征向量. 从而矩阵必可以相似对角化.
D 项是上三角矩阵，主对角线上的元素1，1，_1就是矩阵的特征值，对于二重特征值秩
齐次方程组
只有3-2=1个线性无关的解，
亦即
只有一个线性无关的特征向
量，故矩阵必不能相似对角化.
6． 设A 是n 阶矩阵，
对于齐次线性方程组的解必是
是
的解
的解必是
的解
的解. 以上命题中正确的是（ ）。 A. （1） （2） B. （1） （4） C. （3） （4） D. （2） （3） 【答案】A 【解析】
若
可见命题（1）正确.
如果
若
代入，
得
由于
因此矛盾.
故
时，必有而知必有
类似地用
.
，
即
而
那么对于向量
用
则
和
的解不是
现有四个命题
的解
的解不
即若
是的解，则
必是一方面有：
的解，
左乘上式的两边，并把
左乘可得
个n 维向量它们必然线性相关，两者的解. 因此命题（2）正确.
:线性无关. 但另一方面，
这是
的解必是
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