2018年中国农业大学园艺学院701数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、选择题
1． 下列矩阵中A 与B 合同的是（ ）。
A. B. C.
D. 【答案】C
【解析】由合同定义
：同号.
C 可逆. 知合同的必要条件是：且行列式
与
A 项，矩阵秩不相等；B 项中行列式正、负号不同，因此皆排除. C 项，矩阵A 的特征值为1, 2, 0, 而矩阵B 的特征值为1, 3, 0,
所以二次型
同的正、负惯性指数，所以A 和B 合同.
D 项，矩阵A
的特征值为
矩阵B 的特征值为-1, -2，-2，从而：
与
. 正、负
惯性指数不同而不合同.
2． 设A
是一个矩阵，交换A 的第Ⅰ行、第j 行，然后再交换其第Ⅰ列、第j 列，所得矩阵为B ，考虑命题：①
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C
【解析】由题意知，
存在初等矩阵所得矩阵），使
得
于
是
（交换单位矩阵E 的第i 行、第j 行或第i 列、第j 列后
! 且
②
③A 、B 的行向量组等价；④A 与B 为相似矩阵.
则以上命题成立的个数为（ ）。
与
有相
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即可见命题均成立
. 令则
显然A 、B 的行向量组不等价，命题③不成立.
3．
设A
为四阶实对称矩阵，
且若A
的秩为3, 则A 相似于（ ）。
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【解析】因为A 为4阶实对称矩阵，所以A 必可相似对角化，且A 的特征值全为实数. 设为A 的特征值
，
则
4． 已知征值
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】若
又A
的秩为3，
则A 的特征值为-1，-1，
-1，0.
是矩阵A 属于特征值
的特征向量. 那么矩阵P 不能是（
）。
的特征向量，
与是矩阵
A 属于特
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则有即可见性无关
.
A
项，若
B 项，若是属于C 项，因为
即
是矩阵A
属于特征值
的特征向量
又因矩阵P
可逆，
因此
仍是属于特征值的特征向量
.
线
是属于特征值的特征向量，则
是属于特征值线性无关.
均是
的线性无关的特征向量，故
的特征向量，则
仍是属于特征值的特征向量.
由于
仍是
与
的特征向量，
并且
的特征向量，所以谁在前谁在后均正确.
不再是矩阵
A 的特征向量.
同解的充分条件是（
）.
D 项，
由于是不同特征值的特征向量，
因此
5． 设A
是
矩阵，B 是矩阵，
则方程组与.
A. B. C.
D.
的解是同解.
是A 的伴随矩阵，
若
的解. 当A 列满秩时，即
的任一解，即
则必有
【答案】A
【解析】
易知只有零解. 于是，
若为因此
6． 已知
A 是4阶矩阵，（ ）。
A.A-E B.2A-E C.A+2E D.A-4E
【答案】C 【解析】由
的特征值是1，一1，2, 4知
又因
A-E 的特征值是因此，
而知
于是
的特征值是
1, -1,
2, 4, 那么不可逆矩阵是
与
时，
齐次线性方程组从而也为
的解，
那么，矩阵A 的特征值是：
因为特征值非0，故矩阵A-E 可逆. 类似地可见，矩阵A+2E的特征值中含有0, 所以矩阵A+2E不可逆.
二、填空题