2018年中国农业大学图书馆701数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 、B 为n 阶矩阵，考虑以下命题：①A 与B 等价；②A 与B 相似；③A 与B 合同；A 与B 为正定矩阵.
用“
A. B. C. D. 【答案】C
【解析】若A 、5为正定矩阵，则A 、S 均合同于单位矩阵，从而A 、B 为合同矩阵，而合同的矩阵的秩相同，则有A 与B 等价，故C 项成立，其余三个选项均可构造反例说明其不成立.
2． 三阶矩阵A 的特征值全为零，则必有（ ）。
A. 秩r （A ）=0 B. 秩r （A ）=1 C. 秩r （A ）=2 D. 条件不足，不能确定 【答案】D
【解析】请考察下列矩阵
它们的特征值全是零，而秩分别为0, 1，2. 可见仅由特征值全是零是不能确定矩阵的秩的.
3． 设A , B为n
阶方阵为n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是（ ）。
A.
若B.
若C.
若【答案】C
A 项，
【解析】将等式有
中的A , B
按列分块
则
则A 的列向量组与B 的列向量组等价 则A 的行向量组与B 的行向量组等价
则A 的行（列）向量组与B 的行（列）向量组等价
”表示命题P 可推出命题Q , 则（ ）.
D. 若A 的行（列）向量组与矩阵B 的行（列）向量组等价，则矩阵A 与B 等价
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
表明向量组向量组
C 项，设
则P , Q均为可逆矩阵，且
易见B 的行（列）向量组与A 的行（列）向量组不等价.
D
项，若A 的行（列）向量组与B
的行（列）向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而矩阵A 与B 的 秩相同，故矩阵A 与B 等价（两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等）。
4． 已知A 是4
阶矩阵，是A 的伴随矩阵，若的特征值是1
, -1
, 2, 4
, 那么不可逆矩阵是（ ）。
A.A-E B.2A-E
C.A+2E D.A-4E 【答案】C
【解析】由
的特征值是1，一1，2, 4知
又因
A-E 的特征值是因此，
而知
于是
可由向量组
即
线性表示
，从而这两个向量组等价.
可由向量组
线性表示，表示的系数依次为Q 的第
表明
一列至第n 列，由于Q 可逆，
从而有
B 项，类似地，对于
将A 与B 按行分块可得出A 与B 的行向量组等价.
那么
，矩阵A 的特征值是：
因为特征值非0，故矩阵A-E 可逆. 类似地可见，矩阵A+2E的特征值中含有0, 所以矩阵A+2E不可逆
.
5． 设
A.A=1时，B 的秩必为2 B.A=1时，B 的秩必为1
时，B 的秩必为1 时，B 的秩必为2
B 是4X2的非零矩阵，且AB=0，则（ ）。
专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！
【答案】C
【解析】当A=1时，
易见秩
当
时，由于
知
由于AB=0, A是3X4矩阵，
有
那么当
时
4×2矩阵，所以B 的秩可能为1也可能为2;
当
时，r （A ） =3,
所以必有
6． 设A
是三阶矩阵
是三阶可逆阵，且则（A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
可以由B 作列变换得到.
将的1，2列互换再将第2列乘2, 第3列乘一1，得AB ，即
B 是可逆阵，
两边左乘
得
故
二、填空题
是
）。