2017年中国民航大学理学院817高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 设f （x ）的定义域D=[0，l]，求下列各函数的定义域:
（l ）（2）（3）（4）【答案】（1）（2）（3）（4）
当
时，
，当
时，定义域为。
。
2． 设一圆锥形贮水池，深15米，口径20cm ，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？
【答案】以高度h 为积分变量，变化范围为[0, 15]，对该区间内任一小区间[h，h+dh]，体积为
，记γ为水的密度，则作功为
2
3． 在抛物线y=x上取横坐标为x 1=1及x 2=3的两点，作过这两点的割线. 问该抛物线上哪一点的切线平行于这条割线?
【答案】割线的斜率
2
即2x 0=4， 故x 0=2，
假设抛物线上点（x 0，x 0）处的切线平行于该割线，则有由此得所求点为（2，4）。
4． 利用泰勒公式求下列极限:
【答案】（1）
（2
）
（3）
5． 求方程
的近似根, 使误差不超过0.01。
在[l, 3]上连续, 且, 使
, 即方程
,
在区间（1, 3）内至少有一
【答案】设函数
由零点定理知至少存在一点实根。又方程
, 即
, 故函数f （x ）在[1, 3]上单调增加, 从而在（l , 3）内有惟一的实根。
在（1, 3）内至多有一个实根, 因此方程现用二分法求这个根的近似值:
故误差不超过0.01的根的近似值为
6．
设均匀柱体密度为
，占有闭区域
，求它对于位于点
M 0（0, 0, a ）（a>b）处的单位质量的质点的引力。
【答案】由柱体的对称性和质量分布的均匀性知F x =Fy =0，引力沿z 轴的分量
7． 确定下列函数的单调区间:
【答案】（l ）函数的定义域
为
令当
1 得驻 点 及 时 , 因此函数在 内可导, 且 令当函数在 , 得驻 点 时, , 因此函数在（0, 2]上单调减少; 因此函数在 时, , 因此 上单调增加。 （舍去） , 。它 把 分成二个部分区 间上单调增加; 当一 , 因此函数在[-1, 3]上单调减少。 这两个驻点 把 分成三个部分区 间 , 在 内可导, 且 （2）函数的定义域为 （3）函数除x=0外处处可导, 且 令y’=0, 得驻点 。这两个驻点及点x=0把区间 分成四个部分区间