2017年中国民航大学航空工程学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 确定λ的值，使得在不经过直线y=0的区域上，曲线积分
与路径无关，并求当L 从点A （1, 1）到B
（1, 2）时I 的值。
【答案】由于曲线积分与路径无关，则
，即
解得
，故当
。
时，曲线积分与路径无关。即
2． 将函数
【答案】
展开成傅里叶级数
是偶函数，故
因f （x ）满足收敛定理的条件，且在
上连续，故
3． 求方程
的近似根, 使误差不超过0.01。
在[l, 3]上连续, 且,
使
, 即方程
,
在区间（1, 3）内至少有一
【答案】设函数
由零点定理知至少存在一点实根。又方程
, 即
, 故函数f （x ）在[1, 3]上单调增加, 从而在（l , 3）内有惟一的实根。
在（1, 3）内至多有一个实根, 因此方程现用二分法求这个根的近似值:
故误差不超过0.01的根的近似值为 4． 设
（1）求
（2）分别讨论在y>0且x<1且关。
【答案】（1）记
，由于
，其中C 是椭圆周
时，积分
，取逆时针方向；
是否与路径无
可考虑用格林公式计算J 。因为P ，Q 在点（0，0）处没定义，所以不能在C 所围的区域D 上直接用格林公式。但可在D 中挖掉以（0，0）为圆心，用格林公式，见下图。求解如下:
充分小为半径的圆所余下的区域中
以（0，0）为圆心，，在
上用格林公式得
，充分小为半径作圆周C ; （取顺时针方向）
与C
围成的区域记为
其中
取逆时针方向。
后，可用
的方程化简被积表达式，然后用格林公式得
其中
为
所围成的圆域。
，因此，在Y>0中积分
不是单联通区域，题（1）中已求出
取
使得它含在D 中，因为在D 中存在一条闭曲线
，使得
在区域D ：
且
内时，积分不是与路径无关的。
，函数c （x ）称为成本函数，（元）
5． 设某工厂生产x 件产品的成本为
（l ）当生产100件产品时的边际成本;
（2）生产第101件产品的成本，并与（l ）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义.
【答案】（1）
（
（元/件）。
2
）
与路径无关。
用“挖洞法“求得
（2）Y>0是单联通区域，且有区域D ：
成本函数C （x ）的导数C ’（x ）在经济学中称为边际成本，试求:
即生产第101件产品的成本为79.9元，与（l ）中求得的边际成本比较，可以看出边际成本C’（x ）的实际意义是近似表达产量达到x 单位时再增加一个单位产品所需的成本。