2017年中国民航大学理学院817高等代数考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 设有直角三角形，测得其两直角边的长分别为（7士0.1） cm 和（24士0.1） cm. 试求利用上述两值来计算斜边长度时的绝对误差.
【答案】设两直角边长度分别为x 和y ，利用勾股定理，得斜边长度为
计算得
当x=7，y=24，
时，计算得
即计算斜边长度z 的绝对误差约为0.124cm.
2． 设u （t ）是周期为T 的周期函数。已知它的傅里叶级数的复数形式为
试写出u （t ）的傅里叶级数的实数形式（即三角形式）。 【答案】由题设知因
可见
而c n 为实数，故
故
3． 当正在高度H 飞行的飞机开始向机场跑道下降时，如图所示，从飞机到机场的水平地面距离为L 。假设飞机下降的路径为三次函数确定飞机的降落路径。
的图形，其中
试
【答案】设立坐标系如图所示。根据题意，可知
为使飞机平稳降落，尚需满足
解得
故飞机的降落路径为
4． 大炮以仰角α，初速度v 0发射炮弹，若不计空气阻力求弹道曲线。
【答案】取炮口在原点，炮弹前进的水平方向为2轴，铅直向上为Y 轴，设在时刻t ，炮弹位于
按题意有
且
解方程（1），
得
即
故弹道曲线为
5． 设
代入初始条
件
解方程（2）,
得
得C 4=0，C 3=v0cos α，即
得
代入初始条
件
均为非负数列，且
下列陈述中哪些是对的，那些是错的? 如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例。
（1）（2）（3）（4）
不存在 不存在
【答案】（1）错，例如
不成立。
（2）错，例如（3）错，例如（4）对，因为若
存在，则
，当n=1时，，
故对任意
，当n 为奇数时
不成立。
也存在，与已知条件矛盾。
6． 设圆柱形浮筒，直径为0.5m ，铅直放在水中，当稍向下压后突然放开，浮筒在水中上下振动的周期为2s ，求浮筒的质量.
【答案】设x 轴的正向铅直向下，原点在水面处. 平衡状态下浮筒上一点A 在水平面处，又设，此时它受到的恢复力的大小为在时刻t ，点A 的位置为x=x（t ）恢复力的方向与位移方向相反，故有得
微
分
方
程
解
特
征
方
程
由于振动周期
从中解出
，（R 是浮筒的半径）
则故
故
即
得
，其中m 是浮筒的质量。记
7． 将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体. 问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大?
【答案】设矩形的一边长为x ，则另一边长为p-x ，假设矩形绕长为p-x 的一边旋转，则旋转所成圆柱体的体积为
由
求得驻点为
。
和时，绕
由于驻点唯一，由题意又可知这种圆柱体一定有最大值，所以当矩形的边长为短边旋转所得圆柱体体积最大.
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