2017年中国民航大学航空工程学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 设一圆锥形贮水池，深15米，口径20cm ，盛满水，今以唧筒将水吸尽，问要作多少功？
【答案】以高度h 为积分变量，变化范围为[0, 15]，对该区间内任一小区间[h，h+dh]，体积为
，记γ为水的密度，则作功为
2． 计算下列对坐标的曲线积分：
（1）（2）
，其中L 是抛物线y=x上从点（0, 0）到点（2, 4）的一段弧；
2
，其中L 为圆周及x 轴所围成的在第一象限内的区域
； 的整个边界（按逆时针方向绕行）
（3）（4）（5）一段弧；
（6）（7
）
，其
中
（8）一段弧。
【答案】（1）
（2）如图所示，L 由L 1和L 2所组成，其中L 1为有向半圆弧
，其中L 是抛物线
上从点（-1, 1）到点（1, 1）的
，其中
是从点（1, 1, 1）到点（2, 3, 4）的一段直线；
, 其中L 为圆周
，其中L 为圆周，其中
为曲线
上对应t 从0到的一段弧；
； （按逆时针方向绕行）
上对应从0到的
为有向闭折线ABCA ，这里的A ，B ，C 依次为
点
图
，t 从0变到π
L 2为有向线段y=0，x 从0变到2a ，于是
（4）L 的参数方程为
t 从0变到2π。于是
（6）直线的参数方程为：
t 从0变到1。于是
（7）由有向线段AB ，BC ，CA 依次连接而成，其中
t 从0变到
1 t 从0变到
1 t 从0变到1。
因此
3． 用
函数表示下列积分，并指出这些积分的收敛范围：
，即
，
在n>1
（1）（2）（3）
【答案】（1）令时都收敛。
（2）令当p>-1时收敛。
（3）令当n>0时，当n<0时，故
4． 求函数
【答案】
在点
的泰勒公式。
当
时收敛。
，即
，
，
即
，