2017年杭州电子科技大学经济学院823统计学综合之概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 设随机变量X 和Y 同分布，X 的密度函数为
已知事件
独立，且
求常数a.
由此解得P （A ）=0.5，进而由
解得
2． 计算机在进行加法运算时对每个加数取整数（取最为接近于它的整数）, 设所有的取整误差是相互独立的, 且它们都服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布.
（1）若将1500个数相加, 求误差总和的绝对值超过15的概率；
（2）最多几个数加在一起可使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于90%. 【答案】记为第i 个加数的取整误差, 则
（1）由
且
得所求概率为
（2）由题意可列出概率不等式
利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可改写为
查表得
由此得不小于90%.
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，从而
【答案】由同分布可得P （A ）=P（B ）
这表明:至多443个数相加, 才能使它们的误差总和的绝对值小于10的概率
3． —个质点从平面上某点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，每次游动的距离为1，求经过2n 次游动后，质点回到出发点的概率.
【答案】因为每次都等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，所以经过2n 次游动后，样本空间中共有
设所求事件为样本点共有本点总数
它为
由此得所求概率为
可算得：
4． 从一批钢管抽取10根，测得其内径（单位：mm ）为：
设这批钢管内直径服从正态分布（1）已知【答案】（1）当查表知
（2）未知.
已知时，应采用检验，此时检验的拒绝域为
若取
由样本数据计算如下结果，
检验统计量未落入拒绝域中，应接受原假设，不能认为（2）当未知时，应采用t 检验，拒绝域为显著性水
平s=0.4760,
查表
得
一其中检验统计量
取
试分别在下列条件下检验假设（
）
.
个样本点.
事件
发生要求（1）上下游动次数相等；（2）左右游动次数相等，否则不
个，当k 从0到n 累加起来就得事件
所含样
可能回到出发点，若上、下游动各k 次，那么左、右游动只能各n-k 次，这样共游动2n 次，此种
由样本观测值计算
故接受原假设.
5． 将n 个完全相同的球（这时也称球是不可辨的）随机地放入N 个盒子中，试求：
（1）某个指定的盒子中恰好有k 个球的概率； （2）恰好有m 个空盒的概率；
（3）某指定的m 个盒子中恰好有j 个球的概率.
【答案】先求样本点总数，我们用N+1根火柴棒排成一行，火柴棒之间的N 个司隔恰好形成
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N 个盒子，并依次称它们为第1个盒子，第2个盒子，…，第N 个盒子，n 个球用“0”表示，考虑到两端必须是火柴棒方能形成N 个盒子，所以n 个（不可辨）球放入N 个（可辨）盒子中，就相当于把N-1根火柴棒（N+1根火柴棒中去掉两端的两根）和n 个“0”随机地排成一行，譬如N=4, n=3时，“10010111”表示第1个盒子中有2个球、第2个盒子中有1个球、第3、4个盒子中无球，这样一来，n 个球放入N 个盒子所有的样本点总数相当于：从N-1+n个位置任选n 个位置放“0”、其他位置放火柴棒，故样本点总数为
（1）记A 为事件“指定的某个盒子中恰有k 个球”，不失一般性，可认为第1个盒子中有k 个球，则余下n-k 个球放入另外N-1个盒子中，类似于样本点总数的计算，
此种样本点共有
考虑到球不可辨故
（2）记
为事件“恰有m 个空盒”，它的发生可分两步描述：
种取法.
第一步，从N 个盒子任取m 个盒子，共有
第二步，将n 个球放入余下的N_m个盒中，且这N —m 个盒子中都要有球，
这当然要求
：
或
否则第二步发生的概率为零，为了使第二步能发生，我们设想先把n 个
球排成一行，随机抽取球与球之间的n-1个间隔中的N-m-1个间隔放火柴棒即可，这有种可能.
综合上述两步，所求概率为
（3）若事件C 表示“指定的m 个盒子中恰有j 个球”，这意味着另外N-m 个盒子中放n-j 个球，由类似于样本点总数的计算知：j 个球放入m 个盒子中共余下的N-m 个盒子中有
种放法，于是所求概率为
6． 有三个朋友去喝咖啡，他们决定用掷硬币的方式确定谁付账：每人掷一枚硬币，如果有人掷出的结果与其他两人不一样，那么由他付账；如果三个人掷出的结果是一样的，那么就重新掷，一直这样下去，直到确定了由谁来付账. 求以下事件的概率：
（1）进行到了第2轮确定了由谁来付账； （2）进行了3轮还没有确定付账人.
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种放法，而另外n-j 个球放入