2017年哈尔滨师范大学数学科学学院843概率论与数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明：
【答案】
将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得
第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得
这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.
2． 设不是有效估计.
【答案】设
是0的任一无偏估计，则
即
将（*）式两端对求导，并注意到
有
这说明
求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它
我们将（**）式的两端再对H 求导，得
由此可以得到则
从而，进一步，不等式的下界.
3． 设随机变量
【答案】因为
所以
由此得
4． 设0 【答案】先证必要性：因为A 与B 独立，所以再证充分性：由 ，所以A 与B 独立. 由此得P （AB ）=P（A ）P （B ） 5 来自正态总体．对称, 且 【答案】记正态分布的样本中位数 的密度函数为 令 此变换的雅可比行列式的绝对值 于是y 的密度函数为 记 为的UMVUE. C-R 下界为 故此UMVUE 的方差达不到C-R 中任意两个的相关系数都是p , 试证: 独立，由此得 即 的容量为 的样本中位数是证明 的密度函数关于 f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（ 其中可得 与 分别是标准正态分布N （0, 1）的分布函数与密度函数, 依据它们的性质 这表明密度函数是偶函数, 从而g x ）的密度函数（关于对称, 同时还有 与E 6． 设总体X 的密度函数为： 为抽自此总体的简单随机样本. （1）证明：【答案】（1）令 即 的分布与无关，并求出此分布. 的置信区间. 则 的分布与无关，其密度函数为 由于从而求得 在 上单调递减，为使得区间长度最短，故应取c=0, 所以，的置信水平为 的置信区间为 （2）取c , d 使得 的密度函数为 （2）求的置信水平为 7． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数 . 【答案】因为当 时, 有 又因为当0 所以 有相同的边际密度函数.