2017年河南师范大学数学与信息科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，
即对任意的实数
与X 有相同的偏度系数与峰度系数.
【答案】因为j
所以
即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为
所以Y 与X 有相同的峰度系数.
2． 设随机变量X 的密度函数p （x ）关于c 点是对称的，且E （X ）存在，试证：
（1）这个对称中心c 既是均值又是中位数，即（2）如果c=0，则
因此
所以得
又由
所以
（2）当c=0时，
又由
由此得结论.
由此得
【答案】（1）由p （x ）关于c 点对称可知：
3． 证明:若则对有
并由此写出与
其
中
【答案】由t 变量的结构知, t 变量可表示
为
且u 与v 独立, 从而有
由于
将两者代回可知, 在
时, 若r 为奇数, 则
若r 为偶数, 则
证明完成. 进一步, 当r=l时
, 时, 4． 设证:
【答案】注意到
故
证明完成.
为一个样本,
是样本方差, 试
（此时要求
（此时要
求否则方差不存在）.
否则均值不存在）, 当r=2
5． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明
：
【答案】由又因为所以得
得
进一步由
6． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：
【答案】由于其中
代回原式即得证.
7． 设连续随机变量
独立同分布, 试证:
【答案】设诸而事件
从而该事件的概率为
若记诸
的分布函数为
则上式积分可化为
8． 设总体μ，则
即
将（*）式两端对H 求导，并注意到
有
这说明为证明
即
于是
从而
的UMVUE.
的UMVUE. 【答案】大家知道：
分别是
的无偏估计，设
是0的任一无偏估计，
为样本，证明，
分别为
的密度函数为P （x ）, 其联合密度函数为
.
存在，所以级数
绝对收敛，从而有
的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得