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一、计算题

1． 某班n 个战士各有1支归个人保管使用的枪，这些枪的外形完全一样，在一次夜间紧急集合中，每人随机地取了1支枪，求至少有1人拿到自己的枪的概率.

【答案】这是一个配对问题. 以A ；记事件“第i 个战士拿到自己的枪”，i=l，2，…，n. 因为

所以由概率的加法公式

得

当n 较大时，上式右端近似于

2． 将3个球随机地放入4个杯子中去，试求杯子中球的最大个数X 的概率分布.

【答案】X 的可能取值为1，2, 3, 因为3个球随机地放入4个杯子中，共有

种可能情况，

这是分母，若记事件A 为“X=l”，B 为“X=2”，C 为：“X=3”，可知A ，B ，C 互不相容，且其并为必然事件事件A 发生只能是：第1个球随机放入4个杯子中的任一个、第2个球随机放入余下的3个杯子中的任一个、第3个球随机放入余下的2个杯子中的任一个，这共有情况，所以

事件C 发生只有4种可能情况：3个球全部放在第一，或第二，或第三，或第四个杯子中，所以

又因为P （A ）+P（B ）+P（C ）=1，所以得

将以上结果列表为

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种可能

表

3． 设有容量为n 的样本A , 它的样本均值为mA. 现对样本中每一个观测值施行如下变换差、极差和中位数.

【答案】不妨设样本A 为

样本B 为

, 且

因而

, 样本标准差为^, 样本极差为RA , 样本中位数为

如此得到样本B , 试写出样本B 的均值、标准

4． 某单位招聘员工，共有10000人报考. 假设考试成绩服从正态分布。且已知90分以上有359人，60分以下有1151人. 现按考试成绩从高分到低分依次录用2500人，试问被录用者中最低分为多少？

【答案】记X 为考试成绩，则

由频率估计概率知

上面两式可改写为

再查表得

由此解得

设被录用者中最低分为k ，则由

查表得

注：当p<0.5时，满足等式为

即可查得-X.

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从中解得因此取被录用者中最低分为78.75分即可.

的茗在标准正态分布函数表上不易查得，故改写此式

5． 向

中随机投掷一点P ，求P 点到AB 的距离X 的数学期望、方差与标准差.

的高CD ，记CD 的长度为h （如图）

.

【答案】先求X 的分布函数，作

图

，则当x<0时，有F （x ）=0；当设X 的分布函数为F （X ）时，为了求概率

作

时，有F （x ）=1；而当

使EF 与AB 间的距离为x. 利用确定概率的几何方法，可得

综上可得

由此得X 的密度函数为

故X 与

的数学期望为

从而得X 的方差与标准差分别为

6． 设总体X 的概率密度为自总体X 的简单随机样本。

（1）求的矩估计量。 （2）求的最大似然估计量。 【答案】（1）先求出总体的数学期望令

得的矩估计量

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其中为未知参数且大于零，为来