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一、计算题

1． 如图1所示, 一小球的质量为m , 紧系在完全弹性的线AB 的中部, 线长21. 设线完全拉紧时张力的大小为F , 当球作水平运动时, 张力不变. 重力忽略不计. 试证明小球在水平线上的微幅振动为谐振动, 并求其周期

.

图1

【答案】

图2

取小球为研究对象, 受力分析如图2所示, 其平衡位置为坐标原点, 则小球的运动微分方程是:

又微幅振动条件下:

则运动微分方程可化为:

即为简谐振动的微分方程.

所以小球运动周期为:

2． 图1所示放大机构中，杆I 和II 分别以速度

沿箭头方向运动，其位移分别以x 和y

表示。如杆II 与杆III 平行，其间距离为a ，求杆III 的速度和滑道IV 的角速度。

图1

【答案】（1）以B 为动点，滑道为动系，绝对运动为直线运动，相对运动为直线运动，牵连运动为平面运动。速度分析如图2（a ）所示。

图2（a ）

设滑到IV 上与B 点重合的点为

则有

以点A 为基点，研究点在其中

解得

平面运动。速度分析如图2（b ）所示。

方向上的分量

可得

（2）以C 为动点，滑道为动系，绝对运动为直线运动，相对运动为直线运动，牵连运动为

图2（b ）

设滑到IV 上与C 点重合的点为可得解得

则有

3 图均质细杆, 质量为m , 长为1, 静止放于光滑水平面上. 如杆端受有水平并垂直于细杆的碰撞冲．

量I , 求碰撞后杆中心的速度和杆的角速度. 欲使此杆某一端点碰撞结束瞬时的速度为零, 碰撞冲量I 应作用于杆的什么位置？

图

【答案】由动量定理, 有由对质心C 的动量矩定理, 有

又

即

当

时, 解得

即I 应作用于以A 点为轴的撞击中心处.