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一、证明题

1． 设

为来自如下幂级数分布的样本，总体分布密度为

（1）证明：若c 已知，则的共轭先验分布为帕雷托分布； （2）若已知，则c 的共轭先验分布为伽玛分布. 【答案】（1）当c 已知时，不妨设服从帕雷托分布，即都已知，常记为

则在给出样本

后的后验分布密度函数为

其中

和

其中验分布.

（2

）当已知时，不妨设c

服从伽玛分布

都已知. 则给出样本

即

其中

后c 的后验分布密度函数

因此，

所以当c 已知时帕雷托分布为的共扼先

这说明

2． 对于组合数

（1）（2）（3）

证明：

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证明完成.

（4）（5）（6）（2）因为

【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证.

（3）因为

（4）因为

所以

（5）设计如下一个抽样模型：一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，

则事件=“取出的II 个产品中有k 个不合格品”的概率为

由诸次

互不相容，且

得

把分母移至另一侧即得结论.

注：还有另一种证法：下述等式两端分别展开

可得

比较上式两端的系数即可得

I

（6）在（5）中令a=n，b=n, 则得

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再利用（1）的结果即可得证.

3． 设随机变量\服从柯西分布, 其密度函数为

试证:

当

时, 有

的样本，证明

为

没有无偏估计.

【答案】对任意的即

4． 设

结论得证. 是来自

【答案】（反证法）假设的无偏估计，则

由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在=0处不存在导数. 因此，假不成立，即 5． 设变量序列

没有无偏估计.

为独立同分布的随机变量序列, 其方差有限, 且Xn 不恒为常数. 如果不服从大数定律.

则

由此得

倘若

服从大数定律, 则对任意的

有

于是, 当n 充分大时, 有

记

则

由的任意性,

不妨取

咱矛盾, 所以

6． 设

服从多项分布

则当n 充分大时,

有不服从大数定律.

其概率函数为：

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, 试证:随机

【答案】

, 由此得

,

这与前面推出的