2017年天津医科大学应用统计(专业学位)432统计学之概率论与数理统计教程考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 总体
（1）证明
其中θ＞0是未知参数，又是参数的无偏估计和相合估计；
从而
于是，
这说明
是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了也是的相合估计. （2）似然函数为为
因而θ的最大似然估计为
下求
的均值与方差，由于x （n ）的密度函数为
故
从而
这说明
不是θ的无偏估计，而是θ的渐近无偏估计. 又
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为取自该总体的样本，为样本均值.
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
则
显然L （θ）是θ的减函数，且θ的取值范围
因而是θ的相合估计.
是取自该总体的简单随机样本,
其中
, 而
为样本均值, 为
2． 设总体X 的3阶矩存在, 若样本方差, 试证:
【答案】注意到
又
由此,
3． 设总体二阶矩存在,
是样本, 证明
则
由
因而
所以
4． 设随机变量序列证:
【答案】这时 5． 记
证明
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与的相关系数为
【答案】不妨设总体的方差为
由于,
独立同分布, 数学期望、方差均存在, 且仍为独立同分布, 且
试
由辛钦大数定律知结论成立.
【答案】
由
得
6． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布则
【答案】二项分布因为而
7． 设
的特征函数为, 所以当
时,
则
正是泊松分布的特征函数, 故得证.
为来自指数分布
的样本，
为来自指数分布
的样本，且两组
其中
,
样本独立，其中
（1）求假设
是未知的正参数.
的似然比检验；
（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量
在原假设成立下的分布.
【答案】样本的联合密度函数为
参数空间分别为
下参数的最大似然估计
为
而
在
由微分法容易求出在
下参数的最大似然估计为
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