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一、计算题

1． 设二维离散型随机变量（X ，Y ）的概率分布为

表

1

求： （I ）

（II ）

【答案】

表2 表

3

（I

）（II

）

故

2． 在区间（0, 1）中随机地取两个数，求事件“两数之和小于7/5”的概率.

【答案】这个概率可用几何方法确定，在区间（0, 1）中随机地取两个数分别记为x 和y , 则

y ）（x ，的可能取值形成如下单位正方形

其区域为图中的阴影部分

.

其面积为而事件A“两数之和小于7/5”

可表示为

图

所以由几何方法得

3． 设P （AB ）=0，则下列说法哪些是正确的？

（1）A 和B 不相容； （2）A 和B 相容； （3）AB 是不可能事件； （4）AB 不一定是不可能事件； （5）P （A ）=0，或P （B ）=0； （6）P （A-B ）=P（A ）.

【答案】为了回答这个问题，先要明确一个命题：不可能事件的概率为零，但反之不然，即，则点x 落在零概率事件不一定是不可能事件，譬如，向区间[0，1]上随机投点（其坐标记为x ）

[0.2，0.5]和[0.2，0.5）内的概率皆为0.3，这说明事件“x=0.5”的概率为零，但它是可能发生的事件.

（1）不正确，如A=[0.1，0.2]，B=[0.2，0.3]. ，B=[0.2，0.3]. （2）不正确，如A=[0.1，0.2）（3）不正确，如（1）中的反例. （4）正确.

（5）不正确，如（1）中的反例. （6）正确.

4． 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X （以min 计）服从指数分布，其密度函数为

某顾客在窗口等待服务，若超过lOmin ，他就离开. 他一个月要到银行5次，以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试求

，其中【答案】因为Y 〜b （5，p ）所以得

5． 学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就作随机猜测. 现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率.

（1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是1/2; （2）学生知道正确答案的概率是0.2.

【答案】记事件A 为“题目答对了”，事件B 为“知道正确答案”，则按题意

有

（1）此时有

所以由贝叶斯公式得

（2）此时有

所以由贝叶斯公式得

6． 用一个仪表测量某一物理量9次，得样本均值

（2）求该物理量真值的置信水平为0.99的置信区间. 【答案】（1）此处

，的

置信区间为

从而的置信水平为0.95的置信区间[0.1487，0.4215] （2）当未知时，的查表得

置信区间为

，因而的置信水平为0.99的置信区间为

查表知

，样本标准差s=0.22.

（1）测量标准差大小反映了测量仪表的精度，试求的置信水平为0.95的置信区间；

7． 有一个分组样本如下表:

表

1