2017年天津医科大学应用统计(专业学位)432统计学之概率论与数理统计教程考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 服从区间（一0.5, 0.5）上的均匀分布, 与Y 不相关, 即X 与Y 无线性关系.
【答案】因为
所以
即X 与Y 不相关.
2． 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且，
（II
）设（III ）证明故得X 的概率密度为
（II
）设
为样本
的观测值，则似然函数为
令故
的最大似然估计量为
解得
故
的无偏估计量。
设Z=X-Y。
为来自总体Z 的简单随机样本，求的无偏估计量。
的最大似然估计量
；
（I ）求Z 的概率密度
其中是未
则X 与Y 有函数关系. 试证:X
【答案】（I ）由于X 与Y 相互独立，则Z=X-Y服从正态分布，且
（III
）由于
3 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且都服从标准正态分布N , 试证明:（0, 1）．相互独立.
【答案】设
则
所以•由此得和V=X/Y的联合密度为
所以可分离变量, 即U 与V 相互独立.
, 且X 与Y 独立,
则
的特征函数, 由唯一性定理知
4． 试用特征函数的方法证明/分布的可加性:若随机变量
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是
5． 设不是有效估计.
【答案】设
是0的任一无偏估计，则
分布
求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它
即
将（*）式两端对求导，并注意到
有
这说明
由此可以得到则
从而，进一步，不等式的下界.
我们将（**）式的两端再对H 求导，得
记
为的UMVUE.
C-R 下界为
故此UMVUE 的方差达不到C-R
6． 设随机变量序列独立同分布, 其密度函数为
试证:
当
„所以, 对任意的
时,
有
, 当
其中常数而当时, 有
, 令
时,
有
【答案】因为当x<0时,
有
所以有结论得证.
7． 令X （n ，p ）表本服从二项分布b （n ，p ）的随机变量，试证明
：
【答案】
8． 在伯努利试验中, 事件A 出现的概率为p , 令
证明:【答案】
服从大数定律.
为同分布随机变量序列, 其共同分布为
表
且
从而
又当
时, 与
又因为
于是有
即马尔可夫条件成立, 故
服从大数定律.
独立, 所以
二、计算题
9． 盒中有n 个不同的球, 其上分别写有数字1, 2, •••, 再抽. 直到抽到有两个不同的数字为止. 求平均抽球次数.
【答案】记X 为抽球次数, 则X 的可能取值是2, 3, ….且有
每次随机抽出一个, 记下其号码, 放回去