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一、计算题

1． 甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球.

（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球. 试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；

（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球. 试求最后从乙口袋取出的是白球的概率.

【答案】记事件A 为“从乙口袋取出的这个球是白球 （1）对甲口袋取出的球是白球或黑球，使用全概率公式可得

（2）对甲口袋取出的两个球分三种情况：两个白球、一黑一白、两个黑球. 使用全概率公式可得

2． 设随机变量X 服从正态分布概率之比为7:24:38:24:

7.

【答案】由题设条件知

所以 （1）由

于

由此得a=55.56.

（2）由

于

由此得b=58.5.

（3）由（4）由

3． 设总体概率函数如下，

（1）（2）

查表得查表得

由此得c=61.5. 由此得d=64.44. 即

因此查表

得

即

因此查表

得

试求实数a ，b ，c ，d 使得X 落在如下五个区间中的

是样本，试求未知参数的最大似然估计.

【答案】（1）似然函数为其对数似然函数为

将InL （θ）关于θ求导并令其为0即得到似然方程

解之得

由于

所以

的最大似然估计.

其对数似然函数为

将

关于求导并令其为0得到似然方程

解之可得

由于

这说明

的最大似然估计.

（2）似然函数为

4． 一间宿舍内住有5位同学，求他们之中至少有2个人的生日在同一个月份的概率.

【答案】将此问题看成是：5个球放入12个盒子中去的盒子模型，由盒子模型可得 P （至少有2个人的生日在同一个月份）=1-p（5个人生日全不同月）

5． 先抛一枚硬币，若出现正面（记为Z ），则再掷一颗骰子，试验停止；若出现反面（记为F ），则再抛一次硬币，试验停止，那么该试验的样本空间

【答案】

6． 设

如果

得1-p=3p（1-p ）.

由此解得p=l/3或p=l.因为p=l导致X 为单点分布，即X 几乎处处为0，这无多大实际意义， 故舍去. 所以得

7． 从（0, 1）中随机地取两个数, 求其积不小于3/16, 且其和不大于1的概率。

【答案】设取出的两个数分别为X 和Y , 则（X , Y ）的联合密度函数为

是什么？

求P （X=0）.

所以由

，则P （X=l）=1-p，

因为

【答案】记p=P（X=0）

因为

的非零区域与

的交集为图阴影部分

.

图

所以

8． 口袋中有5个白球，8个黑球，从中不放回地一个接一个取出3个. 如果第i 次取出的是白球，则令

（1）（2）【答案】⑴

将以上计算结果列表为

表

1

，否则令

的联合分布列.

求

的联合分布列；