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一、证明题

1． 设随机变量X 与Y 相互独立, 且方差存在。证明:

【答案】

2． 设总体X 的分布函数F （x ）是连续的,

试证:

（1）（2）

（3）和的协方差矩阵为

其中

成立.

且是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量:

为取自此总体的次序统计量,

设

【答案】（1）由分布函数F （x ）的单调性可知, （0, 1）总体的次序统计量；

（2）是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量, 所以, 故

（3）和的联合分布函数为:

又由分布函数F （x ）的连续性可知, F （X ）服从均匀分布U （0, 1）, 故而^是来自均匀分布U

则

所以,

结合（2）可知, 和的协方差矩阵为:

3． 设

为自由度为n 的t 变量, 试证:的极限分布为标准正态分布N （0, 1）.

, 其中

, 且X 与Y

, 考察其极限知

【答案】据自由度为n 的t 变量的构造知相互独立. 由Y 的特征函数为

, 劼的特征函数为

由特征函数性质知从而由, 再按依概率收敛性知

这就证明了

4． 设随机变量

的极限分布为标准正态分布N （0, 1）. 独立同分布, 且

试用特征函数的方法证明:

【答案】因

为

, 这正是伽玛分布

5． 设随机变量序列数, 并求出c.

【答案】因为

, 且

独立同分布, 且

, 所以由

诸的相互独立性

得特征函数

为

的特征函数, 由唯一性定理知

令, 试证明:其中（3为常

所以由切比雪夫不等式得, 任对即即

有

再由本节第3题知

6． 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且，

（II

）设（III ）证明故得X 的概率密度为

（II

）设

为样本

的观测值，则似然函数为

令故

的最大似然估计量为

解得

故

的无偏估计量。

设Z=X-Y。

为来自总体Z 的简单随机样本，求的无偏估计量。

（I ）求Z 的概率密度

其中是未

的最大似然估计量；

【答案】（I ）由于X 与Y 相互独立，则Z=X-Y服从正态分布，且

（III

）由于

7． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

即A ，B 相容.

证明:X 与不相关. 为证明X

8． 设随机变量X 有密度函数p （x ）, 且密度函数p （x ）是偶函数, 假定Y=

不相关但不独立. 【答案】因为

与Y 不相互独立, 特给定a>0, 使得

所以X 与

不独立.

所以

这表明:X 与

现考查如下特定事件的概率

二、计算题

9． 用4种安眠药在兔子身上进行试验，特选24只健康的兔子，随机把它们均分为4组，每组各服一种安眠药，安眠时间如下所示.

表1 安眠药试验数据