2017年淮北师范大学数学科学学院621数学分析考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是
上的有界连续函数，证明:对任意使得
【答案】记(1) 若存
在
使得
当
则
这表明记为上
由(2) 若存在(3)
若存在
使得当
满足
：
使得
时，恒有
可得
这种情形可仿照(1) 证明.
.
使得而且
2． 证明：函数
在点(0, 0) 连续且偏导数存在，但在此点不可微. 【答案】因为
从而
所以
在点(0, 0) 连续.
由偏导数定义知
同理但当
时，其值为0. 所以
所以，f (x ，y ) 在点(0, 0) 的偏导数存在.
考察不存在，故
由于当
时，
其值为
由连续函
于是，有
是单调递增数列. 注意到
分三种情况讨论.
时，恒
有
而且
的有界性，利用单调有界定理，
存在，
即
取
存在数列
满足
数根的存在定理知，存在
在点(0, 0) 不可微.
3． 设
【答案】因为f 为有
又因为
取
故
证明
使得当
在
时.
内
，
时的无穷大量，所以对任意的M>0, 存在不妨设b>0, 则由函数极限的局部保号性知
.
则当
时，
二、解答题
4． 求
（a 为常数）.
【答案】（1）当a=-1时，
（2）当
吋，
故
5． 设
为连续函数为任意开集为任意闭集，试问，是否必为开集？
是否必为闭集？
【答案】不一定，反例： (1) 对于连续函数(2) 对于连续函数
6． 试确定的值，使下列函数与当
【答案】（1）因为
所以，当（2）因为当所以，当
（3）
为开集，
但
为开集，但
时为同阶无穷大量：
与当
时，
时为同阶无穷大量.
不是开集。
不是闭集.
时，
时
与
当
时为同阶无穷大量.
于是，当
7． 计算五重积分
【答案】当n=5时，取m=2，则
8． 求函数
【答案】首先有
令
得稳定点
又
从而
因为
故
为负定矩阵，所以f 在内点
处取得极大值1.
在
内的极值.
时，
与当
时为同阶无穷大量.
9． 利用归结原则计算下列极限：
【答案】⑴令
则有
由归结原则，得
（2）令
，则
由归结原则，得
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