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一、证明题

1． 求证

：

【答案】对任意给定的

由柯西中值定理，

使得

只需再证明

将(1) 式左端中的变易为x 作辅助函数

由此可

见

是函

数

的最大值点. 于是

显然由(2) 式推出(1) 式，所以本题结论成立.

2． 证明反常积分

【答案】因为

所以只需证明记

收敛即可.

则对任意u>l,

g (x ) 在

上单调递减，并且收敛，故

收敛.

由狄利克雷判别法可知

是收敛的.

是函

数

在

内的惟一极值点，并且是极大值点. 从

而

3． 应用柯西收敛准则，证明以下数列{an}收敛：

(1

) (2

)

【答案】(1) 设n>m, 则有

因为

于是对任意正数则当n>m>N时，

(2) 设n>m, 则有

对任给的

枚敛.

4． 证明在

【答案】设所以

在

上严格单调递增.

即

设所以g (x ) 在于是当

时，有

因为

上严格单调递増.

即

故对

5． 若

的收敛半径为

且

收敛，则

也收敛，且

成

'

上，

. 则

所以当x>0时，有.

取

，则对一切n>m>N，有

由柯西收敛准则知，

数列

(

不妨设

) ，必存在N ，使当n>N时，

有

收敛.

即取

由柯西收敛准则可知，数列

【答案】因为

所以

因为

且

收敛，所以

在[0，A]上一致收敛，故在[0，A]上可逐项积分，因而

因

关于A 在

成立，而

上一致收敛，由和函数的连续性知

收敛，

因此

二、解答题

6． 设

为定义在平面曲线弧段

上的非负连续函数，且在

上恒大于零.

试问在相同的条件下，第二型曲线积分【答案】不一定成立，

如取

7． 求空间曲线

上对应于点x=l的处的切线方程与法平面方程. 【答案】当x=l时，有

解之得设

是否成立? 为什么？ 到

的直线段，

取

则

为从

于是对应于X=1的点是