2018年云南民族大学数学与计算机科学学院601数学分析考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 设
【答案】由保不等式性知
时,
于是,
故当
即当时
时, 原命题是成立的. 当
于是
由的任意性知
时, 对任给的
, 存在
证明
如果
其中
为正整数. 那么, 对任给的
, 存在
使得当
2． 设f （x ）在[0, 1]上连续可导, 证明:
【答案】方法一用积分中值定理. 因为
而
所以
方法二用分部积分法. 因为
而
所以
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,
故
3．
老
推得进而
收敛吗？ 【答案】
由
收敛. 若仅知道则
收敛, 未必有
收敛. 如
且
收敛,
但
发散.
可得
又因为级数
绝对收敛,
故级数
丨收敛,
且级数
绝对收敛, 证明级数
也收敛.
若上述条件中只知道
收敛, 能
二、解答题
4． 设函数u=f（x , y ）在
【答案】首先证明若对上任意两点所以由因而
.
对x 的任意性, 知
, 从而
所以
5． 讨论下列函数在
（1）（2）（3）
【答案】⑴当x>0时
当
时.
时的极限或左、右极限:
）与x 无关, 即, 据上述结论知,
.
.
上有
在
, 试求u 关于x , y 的函数式. 上连续
, 则
由中值定理
再求u 关于x , y 的函数式. 因
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因此（2）当当（3）当当当取
时
则时, 时, 时, 不存在.
时,
故故对即对于任给的并且当
. 由时, 由
得即
可知
因此得
不存在. 取
6． 求下列函数的导函数
:
（1）（2）【答案】（1）当x=0时,
故
. 综上所述
,
（2）当当x=0时,
因
, 故f
（x ）在
不可导. 因此
7． 设V （t ）是曲线
.
【答案】由旋转体体积公式可得
所以
故
又因为
所以
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;
'
当
时,
; 当
时,
.
时, ; 当时
, ；
在上的弧段绕x 轴旋转所得的体积, 试求常数c , 使