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一、计算题

1． 若

【答案】由

, 计算

知

2． 展开函数

为正弦级数, 并指出当【答案】将f （x ）作以

时, 此级数之和. 为周期的奇延拓,

故对

3． 试作一函数

使当

, .

时,

. 当

时, 上述级数收敛于.

（1）两个累次极限存在而重极限不存在； （2）两个累次极限不存在而重极限存在； （3）重极限与累次极限都不存在；

（4）重极限与一个累次极限存在, 另一个累次极限不存在. 【答案】（1）函数

满足

因为

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故（2）函数同理

不存在，

满足

也不存在. 但是

（3）函数因为在（4）函数

4． 设

【答案】因为

满足当满足

' ,

时，重极限和两个累次极限都不存在，

不存在但是

求

时，sinx

的值在﹣1

与1之间振荡，

同理，

siny 也是一样的.

不存在.

所以由链式法则得到

最后以

5． 方程

【答案】令②F （0, 0）=0; ③④

6． 求由抛物线

【答案】因为

代入即可.

能否在原点的某邻域内确定隐函数

y=f（x ）或x=g

（y ）?

, 则有

①F （x , y ）在原点的某邻域内连续；

均在上述邻域内连续；

在原点的某邻域内可确定隐函数y=f（x ）.

所围图形的面积. 的交点为

与

所以由这两条曲线所围图形的面

故由隐函数存在惟一性定理知, 方程

与直线

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积为其中

所以

7． 求下列函数的导数:

（1）

（2）y=y（x ）为可导函数, （3）（4）

存在, y=f（x+y）,

求

, 求y’;

确定, 求

:

, 试用f , f 〃（X ）

;

, 求y’;

, 求y’（0）;

（5）y=y（x ）由关系式y=f（6）（x ）在点x 三阶可导, 且（x ）

以及

（7）（8）

【答案】 （1）

,

求

.

表示

若f （x ）存在反函数

, 求及;

（2）对等式两边关于x 求导得

当x=0时, 由原方程解得y=0, 将x=0, y=0代入上式得（3）令u=x+y, 则y=f（U ）,

于是

, 解得

（4）易知对

两边取对数得

.

.