2017年中国矿业大学(徐州)理学院828高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B. 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
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则A 与B （ ）.
使
其中故A 〜B. 再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
因此A 与B 合同.
3． 设行列式
为f （X ），则方程，f （x ）=0
的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
4． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
5． 设
则A 与B （ ）.
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似
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）.
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
所以A 的特征值为3，3，0；而
二、分析计算题
6． 讨论
（1）
取什么值时下列方程组有解，并求
（2）
（3）
【答案】（1）系数行列式为
当
时，方程组有惟一解，用克拉默法则解得
当
时，方程组是
对增广矩阵进行初等行变换
出现矛盾方程“0=3”，故原方程无解.
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