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一、证明题

1． 证明:函数

【答案】因为

所以

2． 利用单调有界原理证明下列结论:

（1）设（2）设（3）

设且相等.

【答案】（1）因为

, 所以{Xn }单调递增. 由不等式

9

即{Xn }有上界, 从而数列{Xn }收敛. （2）因为

所以又因为

, 即{Xn }单调递减.

, 所以

即{Xn }有下界. 从而数列{Xn }收敛. （3）由已知所以当

时有

又

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（a , b 为常数）满足拉普拉斯方程:

, 则数列{Xn }收敛; , 则数列{Xn }收敛;

, 则

与

都存在

得

因为

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所以{Xn

}单调递减, {以单调递增, 从而当

时, 有

即

{Xn }有下界, {Yn

}有上界, 从而它们的极限都存在. 设其极限分别为x 和y , 则对

3． 证明抛物线

【答案】

►

显然当

4． 证明:函数

（a 、b 为常数）满足热传导方程:

【答案】因为

所以

5． 设

【答案】令在又有

内可导,

, 故由柯西中值定理, 存在

, 证明存在

. 使得,

则

在, 于是当, 使得

. 上连续,

时, , 即

与

不同时为零.

时

,

是单调递减的. 故当

2ax+b=0时

, K

取最大值.

, 即抛物线

在顶点处的曲率为最大.

两边取极限得x=y.

在顶点处的曲率为最大.

由2ax+6=0得

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6．

证明:

若在区间I 上一致收敛于0, 则存在子列使得在, 上一致收敛.

使得

在I 上一致收敛.

【答案】因为

7．

设f

在[a, b]上连续,

【答案】设

在I 上一致收敛于0, 所以对任意的自然数i , 总存在自然数而级数

收敛

, 由魏尔斯特拉斯判别法, 得级数

, 证明:存在

中最小者为

, 使得

, 最大者为

, 则有

, 则取

对f （

x ）在区间（或

）使得

或, 就能满足题中要求. （或

若若

理

, 可以得知存在

或

）上应用连续函数的介值性定

二、解答题

8．

求下列复合函数的偏导数或导数:

（1）设

（2）设

（3）设（4

）设

（5）设（

6）设

求

, 求

（2）

（3）

⑷

求, 求

求求

【答案】（1

）令

u=xy, 则

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