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一、证明题

1． 设函数列

和【答案】使得

因当令不妨设

收敛, 存在正整数时有

,

, 对任意正整数p 都成立, 当n>N时,

, 于是

从而 2．

设

在

上可微,

且对于任何

有

求证:对任何正整数n ,

有

在[a, b]上一致收敛.

.

有

在[a, b]上可导, 且存在M>0, 使得对任意正整数n

成立. 证明:如果级数

, 取正整数m 充分大, 将[a, b]m等分:

在[a, b]上收敛, 则必一致收敛.

其中M 是一个与x 无关的常数.

【答案】由定积分的性质及积分中值定理有

其中

又因为

在

上可微, 所以由微分中值定理可知, 存在

使得

因此

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3． 设f :

可微, 且在上连续

, 若存在常数c>0, 使对一切

.

试证明:（1） f 是上的一一映射; （2

）对一切【答案】（1

）任取所以

（2）所以

则

由

4． 设A 、B 皆为非空有界数集, 定义数集

【答案】对任意的于是

对于任意正数, 存在于是, 即

并且

是无理数. 由此得

是无理数.

证明:

, 均有 .

. 因为

, 即

f 是上的一一映射. , 因为f 在x 0处可微, 即

使

的任意性知, .

证明:

使得

是A+B的一个上界. 使得

故

则设

存在. 因此

5

．

设p

为正整数.

证明:

若p

不是完全平方数, 则

【答案】反证法. 假设使得

于是

这与m , n互质矛盾, 所以

6． 设S 为非空数集, 定义

是有理数. 由于p 不是完全平方数, 于是存在两个互质的正数m , n , 且

由于

所以存在质数

于是

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【答案】

设

有对于任意正数

7．

利用

【答案】因为

存在

则任意

使得

于是,

则

即故故

是是

的一个下界. 又的下确界, 即

为递增数列的结论, 证明

为递增数列, 所以

为递增数列.

即

从而

所以数列

是递增数列.

, 恒有

8． 证明:（1

）

f 为区间I 上凸函数的充要条件是对I 上任意三点

（2） f 为严格凸函数的充要条件是【答案】

因为

, 所以

, f

为严格凸函数的充要条件是

由此可知, f

为凸函数的充要条件是

.

.

二、解答题

9． 将直角坐标系下Laplace 方程

【答案】设

则

类似可求

化为极坐标下的形式.