2017年东北大学理学院814代数基础考研题库
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组
的3个线性无关的解，
为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到是的一个特解，所以选C.
2． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
.
【答案】C
【解析】
，而
3． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
矩阵，则则
不一定是线性变换，
比如
不是惟一的.
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
.
则
也不是线性变换，
比如给
（否则与
是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组
的两个线性无关的解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
【解析】秩未知量个数，有零解.
4． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等
【答案】B 【解析】比如在
若选故选B.
5． 设线性方程组
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
的解都是线性方程组
的解，则（ ）。
则
所以
【答案】（C ） 【解析】设即证秩
的解空间分别为
二、分析计算题
6． 设分块矩阵
（1）（2）
【答案】（1）因为两边取行列式得
（2）
7． 证明：如果多项式f （x ）对任何数a , b都有数.
【答案】证法I 若设因为若
，则对
由
則结论显然. 故下设. 且
则由
得
比较两端
的系数，得
矛盾.
其中A 、D 都可逆，证明：
其中k 为一常
知，
下再证n=l.
因此证法II
若
得：
即
8． 设
（1）
（2）
与也是
_
得证.
的次
数
则必
有
因为若不然，则
由于是又得
矛盾. 这样，f （x ）在复数域中必有根
都是
的根. 如此下去，
可知
的根. 这显然不可能. 故必n=l
即
证明：
有相同值域的充分必要条件是
与有相同的核的充分必要条件是
【答案】（1）充分性. 已知
故
必要性. 已知
（2）充分性. 已
知
则
必要性. 已知对故同样可证
9． 设
由
得
对
及
故
有
故
取
使
则
同样可证
使
则
若
求方阵P ，使【答案】因为
，1的几何重数为所以A 的特征值是1 （3重）
设
使
于是
为A 的若当标准形.
故A 的若当标准形是