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一、综合题（计算、解答、证明）

1． —个数字高通滤波器的通带边界频率为

阻带幅度的最大值为

抽样频率为

所对应的模拟高通滤波器的角频率

以通带边界频率

为基准频率，将模拟高通的频率标称化，即令

转换为模拟低通的标称化频率

对B 型滤波器有

于是有

令

则

而

于是可以得到

即

故

于是取N=5。

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通带幅度的最小值为

阻带边界频率为

采用双线性变换法、Butterworth 逼近来

设计。求这个数字高通滤波器的系统函数

【答案】将数字高通的各边界频率转换为数字角频率：

而

现在将模拟高通的标称化频率

又由

可以得到

于是模拟高通滤波器的标称化截止频率为

而模拟高通滤波器实际的截止频率为

现在令模拟低通的截止频率为1，查表可以得到5阶B 型滤波器的系统函数

这里为了书写方便，已经令将变换式

这是模拟高通的截止频率为1时的系统函数，但是实际的截止频率为通滤波器实际的系统函数为

由于双线性变换法是可以用于高通滤波器的模数变换的，故所要求的数字高通滤波器的系统函数为

2． FIR 低通滤波器具有如下指标：阻带衰减率

的曲线，验证它满足指标

（1）写出滤波器的差分方程 （2）画出滤波器的幅度响应

【答案】 （1）根据题意，设计该滤波器截止频率：

转换为数字截止频率：

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代入，就得到模拟高通滤波器的系统函数

于是模拟高

通带边缘过渡带宽度取样频

可得：

由阻带衰减50dB ，选择汉明窗；采用汉明窗设计时：

最后得到：

可求得滤波器的差分方程：

其中：

（2）由（1）可画出幅频响应曲线如图所示：

希望N 为奇数，因此取

图

3． 已知

【答案】方法1:（幂级数展开法）

所以

方法2:（部分分式展开法）

故

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求其对应的时间序列。