2018年上海交通大学安泰经济与管理学院840运筹学与概率统计之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量序列数，并求出c.
【答案】因为
且
所以由切比雪夫不等式得，任对即再知即
试用特征函数的方法证明:
【答案】因
为
这正是伽玛分布
3． 设T 是
证明:若
【答案】因为T 是即这说明
*
即
4．
设
为一事件域，若
，且
的特征函数，由唯一性定理知是
的另一个无偏估计，
的无偏估计，故其差，由判断准则知1
是0的无偏估计，
，
所以由
诸
的相互独立性
得
的特征函数
为
有
独立同分布，且
令
试证明:
其中c 为常
2． 设随机变量独立同分布，且
的UMVUE ,
，则
的UMVUE ，是
试证:
（1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算
，故其对立事件
.
【答案】（1）因为为一事件域，所以（2）构造一个事件序列由此得（3）因为（4）因为（5）因为.
. 所以，所以，所以
，由，由，其中
.
时，一致地
当
时，
，由（3）（有限交）得，
是方差一致有界的随机变量序列，且当服从大数定律.
任对
存在
5． （伯恩斯坦大数定律）设有
【答案】记有
所以
证明:
由的任意性知
所以由马尔可夫大数定律知
6． 设事件A ，B ，C 的概率都是
【答案】因为
上式移项即得结论.
服从大数定律. ，且
，证明:
7． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且
有
存在，证明:对任意的 ，
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则
注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域.
8． 从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，
样本均值分别为
将两组样本合并，其均值、方差分别为
证明:
【答案】设取自同一总体的两个样本为由
得
由
得
样本方差分别为
二、计算题
9． 同时掷5枚骰子，试证:
（1）P （每枚都不一样）=0.0926; （2）P （—对）=0.4630; （3）P （两对）=0.2315; （4）P （三枚一样）=0.1543; （5）P （四枚一样）=0.0193;