2018年上海交通大学理学院(数学系)844概率论与数理统计考研核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 有一位市场调查员，他感兴趣的是该地区成年人中将购买某种产品的比率 （即该商品的市场占有率）. 现他要事先确定需要访问多少顾客（样本量n=?）才能使知道
结果又是如何？
是来自二点分布
的一个样本，就是样本中购买
是的置信水平
为0.95的置信区间？其中是样本中购买此种商品的顾客的比例，d 是事先给定的常数. 假如事先
【答案】对第一个问题，设
此种商品的顾客的比例，由中心极限定理知，当n 较大时，
在未知时，有
，从而
即
这说明
要求该置信区间的长度不超过2d ， 即得
若
对第二个问题，当已知由于
在
当
时可分别算得
（或己知
是增函数，所以
.
，处理方法完全一样）时，，从而
这说明
间.
类似地，要求该置信区间的长度不超过2d , 即得到譬如，若已知
（即
），则
，仍取
. ，
.
，
.
是
的置信水平
的置信区
样本量随d 的增加（精度减少）迅速降低.
是的置信水平
的置信区间.
于是关于样本量的要求化为当
时分别算得
与完全未知情况相比样本量约减少
由此可见，若对事先有若干信息可利用，得知市场占有率不会超过那么就应利用这个信息，减少样本量，也即减少调查费用.
2． 钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是述三处地方被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1. 试求找到钥匙的概率.
，
，而掉在上
【答案】记事件为“钥匙掉在宿舍里”，为“钥匙掉在教室里”，为“钥匙掉在路上”，事件B 为“找到钥匙由全概率公式得
3． 在入户推销效果研究中，分别用Hartley 检验和Bartlett 检验在显著性水平总体作方差齐性检验.
【答案】r=5, 每组样本量相同，均为7, 可以采用Hartlev 检验，由于样本量大于5, 也可以采用Bartlett 检验. 我们首先用Hartley 检验对等方差性作判断. 我们可以算出各组内的平方和
利用公式可求得各组的样本方差
因而统计量H 的值为
对显著性水平从而拒绝域为
即认为各个总体方差相等.
接下来计算Bartlett 检验统计量. 己求得
且
于是Bartlett 检验统计量为
对显著性水平由于
，查表知，，故应接受原假设
，拒绝域为
即认为诸水平的方差满足方差齐性条件.
，由附表10查得
，
，
，由于H<12.1，所以应该接受原假设
分别为
下对五个
两种检验的结果是一致的.
4．
某种导线的质量标准要求其电阻的标准差不得超过根，
测得样本标准差为批导线的标准差显著地偏大？
今在一批导线中随机抽取样品9
下能否认为这
，设总体为正态分布，问在显著性水平
【答案】本题是单侧检验问题，待检验的原假设和备择假设分别为
，查表知，拒绝域为若取
由所给条件可得出检验统计量为
因此拒绝
5． 设
【答案】
在显著性水平
，试求
，
下认为这批导线的标准差显著地偏大.
6． 某防治站对4个林场的松毛虫密度进行调查, 每个林场调查5块地得资料如下表:
表
1
判断4个林场松毛虫密度有无显著差异, 取显著性水平【答案】记四个林场松毛虫的平均密度为则所述问题为在显著件水平
下检验假设:
不全相等
由已知得
.
, 则
的自由度分别为
表
2
, 从而得方差分析表如下: