2018年上海理工大学理学院811概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设分统计量.
【答案】由几何分布性质知，
其分布列为
在给定
后，对任意的一个样本
有
是来自几何分布
的样本，证明
是充
该条件分布与无关，因而
是充分统计量.
个
和个
譬如
这n 个分布，且
把此序列分成n 段，每段中
的个数依次记为
这里诸
服从几何
这个条件分布是离散均匀分布，可用等可能模型给其一个解释:设想有把它们随机地排成一行，并在最后位置上添上1个
我们指出，此种序列共有个（这是重复组合），而每一个出现这就是在
给定后
的
是等可能的，
即每一个出现的概率都是条件联合分布.
这个条件分布还表明:
当已知统计量
的值t 后，就可按此条件分布产生一个样本
它虽与原样本不尽相同，但其分布相同.
在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分统计量的真实含义.
2． 证明公式
【答案】为证明此公式，可以对积分部分施行分部积分法，更加简单的方法是对等号两边分别关于p 求导，证明其导函数相等.
注意到将等式右边的求导可给出
而对
对
其和前后项之间正好相互抵消，最后仅留下一项，也为这就证明了两者导函数相等，并注意到两者在
3． 设
为一独立同分布的随机变量序列，已知
近似服从正态分布，并指出此正态分布的参数.
【答案】因为
为独立同分布的随机变量序列，所以
也是独立同分布的随机变量序列.
时都为0, 等式得证.
试证明:当n 充分大时
，
根据林德伯格-莱维中心极限定理知，近似服从正态分布，其参数为
4． 证明:对任意常数c , d , 有
）
【答案】
由
得
因而结论成立.
5． 总体
（1）证明
，其中
是未知参数，又
为取自该总体的样本，
为样本均值.
是参数的无偏估计和相合估计；
（2）求的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相合估计吗？ 【答案】（1）总体
，则
于是，
，这说明
是参数的无偏估计. 进一步，
这就证明了
也是的相合估计.
，显然
是的减函数，
，从而
（2）似然函数为且的取值范围为
’因而的最大似然估计为
下求的均值与方差，由于的密度函数为
故
从而
这说明
不是
的无偏估计，而是的渐近无偏估计. 又
因而
是
的相合估计.
6． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:
【答案】由于其中
代回原式即得证.
存在，所以级数绝对收敛，从而有