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一、分析计算题

1． 设A 为n

阶方阵

（1）试证:

（2）如A 为非奇异，试证（3）试证:

（4）如A 的秩为n ，试证:

（5）如A 为非奇异，试证:

（6）如A 为非奇异，试证；【答案】（1）设

则

E 为n 阶单位矩阵，为A 的伴随矩阵，

； 的秩也为n ;

;

为A 的行列式.

由于因此

（2） 仿（1）还可证由定义得

（3）设子式（

再设

那么

为行列

中划去第j 行和第i 列的代数余

由此即证（4）若秩即秩

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所以

阶行列式），其中每行提出公因子a 后，可得

那么由上面①式有

所

（5）因为由上面②式两边取逆可得

另一方面②式中，用换A 得

由③，④即证

（6）证明对一切（不一定A 非奇异）都有

事实上，由于 因此（i ）当秩

时

A 可逆，用

左乘①式两边可得

在⑥式中用A 换得

（ii ）当秩

时，则秩

从而秩

放

综合⑦，⑧两式，即证⑤成立.

2． 解线性方程组

其中

是互不相等的常数

【答案】设系数行列式为

则

由克莱姆法则此方程组有唯一解，且由

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⑥

⑦

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可得此方程组惟一解为:

3． 在欧氏空间R 3 （内积按通常定义）

中, 从基发, 求一个标准正交基.

【答案】先对

正交化:

取

且

再标准化, 即得标准正交基为

4． 计算

出

【答案】（1）当时，用第1行的（-1）倍分别加到其它各行得

按第1行展开得

（2）当

时，将最后一列拆成两项和，所以

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