2018年北京航空航天大学数学与系统科学学院609数学专业基础课之高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1. 证明:矩阵方程解情况下,
当
【答案】
因为
有解
时,方程有无穷多解.
所以A 的列向量组的极大无关组即为矩阵(A ,B )
在有
时,方程有唯一解;当
的列向量的极大无关组.
从而B 的列向量
可由A 的列向量线性表示,令
则矩阵1
若
有解C ,即
是方程的解
.
则B 的列是A 的列的线性组合. 因而A 的列向量组与(A ,
B )的列向量组等价.
所以
在有解时,记(1)(2)
为B 的第i
列
有唯一解
有无穷多解. 表示由
生
均有无穷多解,所以矩阵方程
是V 的一个基, 用
有唯一解时,线性方程组
2. 设V 是数域K 上一个n 维线性空间, 成的线性子空间, 令
(1)证明:(2)证明:
是V 的子空间;
下的矩阵A 是置换阵(即A 的每一行与每一都是A 的不变子空间.
(3)设V 上一个线性变换A 在基列都只有一个元素是1, 其余元素全为0). 证明:
【答案】(1)显然又
有
(因为
)
(因为所以以
(3)则
是V 的子空间.
又显然有
从而, 令
, 因为是
A 是置换阵,
的一个排列), 所以
即
是直和, 且
所
(2)因为
)
此说明又
是令
子空间.
则
也是
子空间.
证
3. 设V 是数域P 上n 维线性空间, 明:量,
【答案】
由已知
线性无关的充要条件是
且在P 中有n 个不同特征值
其中是r 的特征值的特征向
于是
因而
式(7—17)右边的n 阶矩阵A 的行列式为范德蒙行列式, 由由
设
则
线性无关, 故是
的特征向量
,
设
是的特征向量. 注意到(7—17)成立,
互不相同, 则A 可逆,
互不相同,
故
只要证明则
线性无关
.
记
这里
由特征值
,
是V 的基,
也是V 的基, 故
4. 设A ,B 是n 阶实对称矩阵,且B 正定,则
(1)(2)
设
最小值和最大值分别为
的根全为实根. 的根为且
(1)
这里
因为
所以.
(2)记于是
类似可得
5. 计算
的根为
故其根全为实根.
则约束条件
求证:
在约束条件
下的
【答案】 (1)由B 正定,A 实对称,存在实可逆矩阵P , 使得
【答案】(1)当时,用第1行的(-1)倍分别加到其它各行得
按第1行展开得
(2)当
时,将最后一列拆成两项和,所以
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