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2018年北京航空航天大学数学与系统科学学院609数学专业基础课之高等代数考研强化五套模拟题

  摘要

一、分析计算题

1. 证明:矩阵方程解情况下,

【答案】

因为

有解

时,方程有无穷多解.

所以A 的列向量组的极大无关组即为矩阵(A ,B )

在有

时,方程有唯一解;当

的列向量的极大无关组.

从而B 的列向量

可由A 的列向量线性表示,令

则矩阵1

有解C ,即

是方程的解

.

则B 的列是A 的列的线性组合. 因而A 的列向量组与(A ,

B )的列向量组等价.

所以

在有解时,记(1)(2)

为B 的第i

有唯一解

有无穷多解. 表示由

均有无穷多解,所以矩阵方程

是V 的一个基, 用

有唯一解时,线性方程组

2. 设V 是数域K 上一个n 维线性空间, 成的线性子空间, 令

(1)证明:(2)证明:

是V 的子空间;

下的矩阵A 是置换阵(即A 的每一行与每一都是A 的不变子空间.

(3)设V 上一个线性变换A 在基列都只有一个元素是1, 其余元素全为0). 证明:

【答案】(1)显然又

(因为

(因为所以以

(3)则

是V 的子空间.

又显然有

从而, 令

, 因为是

A 是置换阵,

的一个排列), 所以

是直和, 且

(2)因为

此说明又

是令

子空间.

也是

子空间.

3. 设V 是数域P 上n 维线性空间, 明:量,

【答案】

由已知

线性无关的充要条件是

且在P 中有n 个不同特征值

其中是r 的特征值的特征向

于是

因而

式(7—17)右边的n 阶矩阵A 的行列式为范德蒙行列式, 由由

线性无关, 故是

的特征向量

,

是的特征向量. 注意到(7—17)成立,

互不相同, 则A 可逆,

互不相同,

只要证明则

线性无关

.

这里

由特征值

,

是V 的基,

也是V 的基, 故

4. 设A ,B 是n 阶实对称矩阵,且B 正定,则

(1)(2)

最小值和最大值分别为

的根全为实根. 的根为且

(1)

这里

因为

所以.

(2)记于是

类似可得

5. 计算

的根为

故其根全为实根.

则约束条件

求证:

在约束条件

下的

【答案】 (1)由B 正定,A 实对称,存在实可逆矩阵P , 使得

【答案】(1)当时,用第1行的(-1)倍分别加到其它各行得

按第1行展开得

(2)当

时,将最后一列拆成两项和,所以