2017年东南大学数学系933高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 验证函
数
并利用此结果求幂级数
【答案】（1）因为
以上三式相加得
所以函数y （x ）满足微分方程（2）根为
对应的齐次方程因此齐次方程的通解为
设非齐次微分方程的特解为
且非齐次微分方程的通解为
由（1）知，幂级数的和函数y （x ）满足：
解得
于是由微分方程初值问题解的唯一性，可得所求幂级数的和函数为
由此定出上式中的C 1与C 2,
令
代入方程
得
于是
的特征方程为
的和函数。
满足微分方
程
2． 设函数y=f（x ）的图形如图，试在图（a ）、（b ）、（c ）、（d ）中分别标出在点x 0的dy ，△y 及△y-dy ，并说明其正负。
【答案】
3． 计算下列对面积的曲面积分：
，其中为平面
，其中为平面
，其中为球面
，其中为锥面
的部分。
【答案】（1）在上，直线
上上被柱面
在第一卦限中的部分；
在第一卦限中的部分；
的部分；
所截得的有限
。在xOy 面上的投影区域D xy 为由x 轴、y 轴和
所围成的三角形闭区域，因此
（2）在上，成的三角形闭区域。因此
。在xOy 面上的投影区域为由x 轴、y 轴和直线所围
（3）
在
上
，
，
在
xOy
面上的投影区
域
。由于积分曲面关于yOz 面和zOx 面均对称，故有
于是
（4）如图所示，在xOy 面上的投影区域D xy 为圆域而函数xy 和yz 关于y 均为奇函数，故
。由于关于zOx 面对称，
图
于是