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一、计算题

1． 验证下列求这样的一个

【答案】（1）在整个xOy 面内，

函数

，因此所给表达式是某一函数

的全微分。取

具有一阶连续偏导数，

且

则有

（2）在整个xOy 面内，函数

和

具有一阶连续偏导数，且

故所给表达式是某一函数

的全微分。取

则有

（3）在整个xOy 面内，且

则有

和

，故所给表达式是某一函

数

具有一阶连续偏导数，

的全微分。

取

在整个xOy 平面内是某一函数

的全微分，并

（4）在整个xOy 面内，函数且

则有

和

具有一阶连续偏导数，

的全微分，

取

，故所给表达式为某一函

数

（5）解法一：在整个xOy 面内，连续偏导数，且分。取

则有

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和

故所给表达式是某一函数

具有一阶的全微

解法二：（偏积分法）因函数

满足

故

其中

是y 的某个可导函数，由此得

又

必需满足

从而得

（C 为任意常数）。因此

取C=0，就得到满足要求的一个

。

因此可取

2． 从斜边之长为的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形。

【答案】设直角三角形的两直角边之长分别为求周长S 在作拉格朗日函数

令

条件下的条件极值。

则周长

解法三：（凑微分法）利用微分运算法则直接凑出

解得。代入，得，于是是唯一可能的一切直

的极值点，根据问题性质可知这种最大周长的直角三角形一定存在，所以在斜边之长角三角形中，周长最大的是等腰直角三角形。

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3． 求下列微分方程组满足所给初始条件的特解：

【答案】（1）记

则有

即

由③的特征方

程

得

故

原方程组即为

解

得又由①

得

于

是代入初始条

件

代入初始条

件

得

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