2017年郑州大学联合培养单位许昌学院915高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设A 为n 阶非数量矩阵. 证明：
（1）若（2）若【答案】（1）设
且a ，b ，c 不全为0，则
.
若c=0，则aA=-bE.这与a ，b ，c 不全为0且A 非数量矩阵矛盾，因此反之，若（2）由 2． 设
是2阶实方阵构成的欧氏空间，其内积为
又设正交基.
【答案】
设
故
将其正交化： 令
是
的一组基. 则
有求
生成的子空间
则由假设可得得A （A —E ）=0.若
从而
则得A=E.这与A 非数量矩阵矛盾. 故
的正交补空间的一组标准
解之得基础解
系
再单位化，即得
的标准正交基
.
3． 设
证明：【答案】记由
是II 维线性空间V 的一组基，A 是一个
的维数等于A 的秩.
由式（6—21）知
在基
矩阵，且
_的坐标，
是线性空间的同构映射，而同构映射保持向量组的线性相关性，故
4． 设水银密度h 与温度t 的关系为
由实验测定得以下数据：
表
求
【答案】设
则因此
满足
满足下面的线性方程组
时水银密度（准确到小数两位）. 提示根据上题，求出
此线性方程组有惟一解. 解为
将
及40代入
即知
时，水银密度时，水银密度
5． 元素属于实数域R 的
矩阵，按矩阵加法与数的数量乘法构成数域R 上的一个线性空间. 令
在这线性空间中，变换
是一个线性变换，试求F 的核的维数与一组基.
【答案】解法1取的一组基
则由①可求得其中
令再令
则解法2设
从而
则
解之，可得基础解系
6． 设成与
【答案】记用
表示是方程的多项式.
因为
是
的根，所以
的初等对称多项式：
的初等对称多项式
的任一对称多项式
的多项式.
是
可以表成
与
的多项式
.
因而是
的多项式
余下步骤同解法1. 的根，证明
：
的对称多项式可以表
且
为KerF 的一组基.
得基础解系
则于是
因此由第一式逐步递推，
可知