2017年长春师范大学线性代数(同等学力及跨学科加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 试证；由
【答案】所生成的向量空间记作L ，显然故
2． 设
（1）证明
线性无关. 但向量组综上知
是A 的n-1重特征值；
是A 的n-1重特征值. 注意到A 为对称阵，故A
与对角阵
=1, 从而R =1, 就是A 的全部特征值. 显然R （A ）（A ）
是A 的n-1重特征值.
的对角元之和为
又由特征值性质：A 的n 个特征
为A 的（惟一的）非零特征值. 所生成的向量空间就是另一方面
，则因
&线性相关，于是B 可由
.
，
线性表示，也即B ∈L.
所以
（2）求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量. 【答案】
首先证明
相似，其中
于是只有一个非零对角元，即
其次，求A 的非零特征值，因再求A 的特征向量. ①对应于
解方程.Ax=0.由
值之和为它的n 个对角元之和，从而由上所证知
得n-1个线性无关的特征向量为：
②用两种方法求对应于方法一：
由对称矩阵性质知
的特征向量
的非零解. 而由⑴式
都正交，
即是方程
知
两边转置得
故可取这样
就是A 的n 个线性无关的特征向量
方法二：由
有按定义，即知A 有非零特征值且对应特征向量为
3． 设
问
是不是向量空间? 为什么？
【答案】（1）是向量空间, 理由是
①非空：
②对于向量的加法和数乘封闭. 事实上，
则有
因
故
（2）不是向量空间. 事实上，取
那么
即
对向量加法不封闭.
4． 设
且
求B
【答案】由方
程
合并含有未知矩阵
B
的项，
又，
其行列式
故A-E 可逆，用左乘上式两边，即得
得
5． 己知两个线性变换
求从
到
的线性变换.
【答案】依次将两个线性变换写成矩阵形式：X=AY，Y=BZ.
其中
分别为对应的系数矩阵；
在这些记号下，从
形式为
这里矩阵
即有
6． 试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆阵：
（1）
到的线性变换的矩阵
（2）
【答案】记所给的矩阵为A. （1）