2018年贵州师范大学数学与计算机科学学院720数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 如图所示, 直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截, 试求截得楔形体的体积
.
图
【答案】椭圆柱面的方程为的性质有
, 解得
.. 于是
故所求体积
2． 计算重积分
其中D 是以集, 它的点总可表示为
作变换:
所以
I
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. 设垂直于X 轴的截面面积为A （X ）, 则由相似三角形
为顶点, 面积为A 的三角形.
【答案】可以利用重心公式直接求得结论, 本题采用具有一般性的方法进行求解. 三角形为凸
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3． 求由下列曲线所围的平面图形面积:
（1）（2
）（3）
【答案】（1
）令
, 故
从而
x+y=a变换成u=a,
x+y=b变换成
u=b,
y=ax变换成（2）令变换成
即
所以曲面面积为
（3）令当
时,
则
即
从而方程
变换成
, 由图形（如图）的对称性可知图形面积:
, 则
从而方程
变换成
所以图形面积
图
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4． 求下列函数的偏导数:
（1）设f （x , y ）在R 上二阶连续可微,
,
求（2）设
, 其中f （u , v ）具有二阶连续偏导数,
解得
对上式及解得
（2）令
’则z =f（u , v ）, 于是
5． 设f （x ）在
【答案】由f （x
）在
时
有其中
. 对任意, 因f （x ）在
存在整数n , 使得
上有界, 所以存在M>0,
使得
,
.
上一致连续, 则存在非负实数a 与b , 使得对一切
上一致连续,
所以对
,
当
均有
,
且
两边关于x 求导得
二阶可导, 求
2
, 且
【答案】（1）对f （x , 2x ） =x两边关于x 求导得
因此, 当n 为正整数时有
当n 为负整数时有
由
知
, 代入上式得
记
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, 则a>0, b>0, 使得.