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一、证明题

1． 设

（1）因为（2）同理

2． 用有限覆盖定理证明连续函数的一致连续性定理.

【答案】一致连续性定理:若函数f 在闭区间上连续, 则f 在[a, b]上一致连续. 因为f 在[a, b]上连续, 所以任给

取

任意

, 存在. 则H

是

对任意

, 有

,

不妨设

,

即

.

的无限开覆盖. 由有限覆盖定理, 从中可以选出有限个

记（2）所以

证明:

【答案】（1）由题意知

开区间来覆盖[a, b].不妨设选出的这有限个开区间为

取当

时, 由于

.

对任意

因此

由一致连续定义, f 在[a, b]上一致连续.

3． 设

当当

. 求证:

时,

时, 结果显然成立.

时, 利用一个显然成立的不等式:

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在区间上一致连续. 上显然一致连续.

【答案】当

即可导出:有

因此, 取因此,

4． 证明下列结论:

. 于是当

在

设时, 有

, 令, 则

。

上一致连续.

f x ）（1）若（在[a, b]上严格递增, 且对f x ）（2）设（与g （x ）

在【答案】（1）假设从而有

（a ）为极限, 从而数列

当再证:当即

5． 设f （x ）在

证明:【答案】

时有

时有

, 由g （x ）单调递增, 则有

, 矛盾. 从而当

上二次可微, 且

（2）不妨设g （x ）单调递增. 对

.

由

, 则

）有

, 对任意正整数k ,

,

（正常数）, 即数列

的子列

知

,

, 使得, 于是

时有

, 即

, 则, 则, 使得

. 不以f

上有定义, g （x ）单调, 且

已知f （X ）在[a, b]上严格递增, 所以有

也不以f （a ）为极限, 矛盾, 于是

（反证法）若结论不成立, 即存在,

及任意的实数h , 由泰勒公式, 有

在x 与x+h之

间

,

将上两式相减得

所以

固定h , 对上式关于x 取上确界, 可得

上式是关于h 的二次三项式, 由其判别式

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在x 与x-h 之间

可得

6． 设级数收敛, 证明

【答案】

因为收敛,

即

敛, 又

在在

,

且故

上一致收敛, 所以由阿贝尔判别法知

,

上连续, 故

在

单调且一致有界,

又级数在

上一致收

上也连续, 即

7． f （x ）在R 上二次可导, 证明: f（x ）在R 上恰有两个零点.

【答案】先证当因为

所以, 当x 的绝对值足够的大的时候, 不妨设当当同理, 当由又由于

时,

时, 的时候, 可知

先单调减少, 再单调递增.

在

各有一个零点.

的时候,

为递增函数。所以

根据连续函数的零点存在定理知,

二、解答题

8． 求下列函数的傅里叶级数展开式:

（1）（2）

为周期的连续奇函数, 故

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【答案】（1）f （x ）是以